- Камень бросили вертикально вверх на высоту h0 = 10 м. Через какое время t он упадет на землю? На какую высоту поднимется камень, если начальную скорость камня увеличить вдвое?
Для решения задачи используем законы кинематики. Начнем с первого вопроса: через какое время камень упадет на землю после того, как его бросили вертикально вверх на высоту ( h_0 = 10 ) м.
Когда камень бросают вверх, он сначала поднимается до максимальной высоты, а затем падает обратно на землю. Мы знаем, что в момент достижения максимальной высоты скорость камня становится нулевой. Движение камня можно разбить на две части: подъем и падение.
Для подъема используем уравнение движения:
[ v^2 = u^2 - 2gh, ]
где
Так как конечная скорость ( v = 0 ) на максимальной высоте, уравнение принимает вид:
[ 0 = u^2 - 2gh. ]
Отсюда высота подъема:
[ h = \frac{u^2}{2g}. ]
Время подъема ( t_{\text{up}} ) определяется уравнением:
[ v = u - gt_{\text{up}}. ]
Поскольку ( v = 0 ) на максимальной высоте:
[ 0 = u - gt_{\text{up}}, ]
откуда
[ t_{\text{up}} = \frac{u}{g}. ]
Время падения ( t_{\text{down}} ) равно времени подъема, так как движение симметрично:
[ t{\text{down}} = t{\text{up}} = \frac{u}{g}. ]
Полное время ( t ), через которое камень упадет на землю, равно сумме времени подъема и падения:
[ t = t{\text{up}} + t{\text{down}} = 2 \times \frac{u}{g} = \frac{2u}{g}. ]
Чтобы найти точное значение, необходимо знать начальную скорость ( u ). Если известно, что камень достигает высоты ( h_0 = 10 ) м, то:
[ h_0 = \frac{u^2}{2g}, ]
откуда
[ u = \sqrt{2gh_0} = \sqrt{2 \times 9.81 \times 10} \approx 14 \text{ м/с}. ]
Теперь можем подставить ( u ) в формулу для полного времени:
[ t = \frac{2u}{g} = \frac{2 \times 14}{9.81} \approx 2.85 \text{ с}. ]
Если начальная скорость ( u ) увеличивается вдвое, то новая скорость ( u' = 2u ).
Новая высота подъема ( h' ) будет:
[ h' = \frac{(u')^2}{2g} = \frac{(2u)^2}{2g} = \frac{4u^2}{2g} = 2 \cdot \frac{u^2}{2g} = 2h_0. ]
Поскольку ( h_0 = 10 ) м, новая высота:
[ h' = 2 \times 10 = 20 \text{ м}. ]
Таким образом, если начальную скорость увеличить вдвое, камень поднимется на высоту 20 метров.
Для решения первой части вопроса используем уравнение движения тела в вертикальном направлении: h = h0 + v0t - (gt^2)/2, где h - высота, на которой находится камень в момент времени t, v0 - начальная скорость, g - ускорение свободного падения (принимаем равным 9,8 м/c^2), t - время, h0 - начальная высота.
При движении камня вверх его скорость уменьшается до нуля, затем он начинает падать с ускорением g. Поэтому конечная высота будет равна 0 м. Подставляем данные в уравнение и находим время t: 0 = 10 + 0 - (9,8*t^2)/2 4,9t^2 = 10 t^2 = 10 / 4,9 t = √(10 / 4,9) ≈ 1,43 сек
Для решения второй части вопроса увеличим начальную скорость вдвое, т.е. v0' = 2v0. Тогда уравнение движения будет выглядеть так: h' = h0 + 2v0t - (gt^2)/2. Подставляем данные и находим высоту, на которую поднимется камень: 0 = 10 + 2v0t - (9,8t^2)/2 4,9t^2 = 2v0*t + 10 t = (2v0 ± √(4v0^2 + 98)) / 9,8
Таким образом, при увеличении начальной скорости камня вдвое он поднимется на большую высоту, чем в первом случае.
