а) Уравнение траектории частицы можно определить, выразив координаты x, y и z через время t: x = 3t^2 y = 2t z = k
б) Скорость частицы в момент времени t0 = 1 с можно найти, продифференцировав радиус-вектор по времени: v = dr/dt = 6ti + 2j
Ускорение частицы: a = dv/dt = 6i
в) Касательное ускорение точки: a_t = (v dv/dt) / |v| = (6ti + 2j) 6i / √(36 + 4) = 36i / √40 = 18√10i
Нормальное ускорение точки: a_n = √(|a|^2 - |a_t|^2) = √(36 - 360) = √(-324) = 18i
Радиус кривизны траектории R можно найти по формуле: R = |v|^3 / |a_t| = √(36^2 + 4^2) / 18√10 = √(1296 + 16) / 18√10 = √1312 / 18√10 = 4√82 / 18√10 = 2√205 / 9.
Для решения задачи рассматриваем радиус-вектор частицы ( \mathbf{r}(t) = 3t^2\mathbf{i} + 2t\mathbf{j} + \mathbf{k} ).
Чтобы определить уравнение траектории, выразим координаты (x), (y) и (z) как функции времени: [ x(t) = 3t^2, \quad y(t) = 2t, \quad z(t) = 1. ]
Исключим параметр (t) из этих уравнений. Из уравнения для (y) находим ( t ): [ t = \frac{y}{2}. ]
Подставим это значение в уравнение для (x): [ x = 3 \left(\frac{y}{2}\right)^2 = 3 \cdot \frac{y^2}{4} = \frac{3y^2}{4}. ]
Так как (z) всегда равно 1, уравнение траектории будет: [ x = \frac{3y^2}{4}, \quad z = 1. ]
Скорость частицы определяется как первая производная радиус-вектора по времени: [ \mathbf{v}(t) = \frac{d\mathbf{r}}{dt} = \frac{d}{dt}(3t^2\mathbf{i} + 2t\mathbf{j} + \mathbf{k}) = 6t\mathbf{i} + 2\mathbf{j}. ]
Поставим ( t_0 = 1 ): [ \mathbf{v}(1) = 6 \cdot 1\mathbf{i} + 2\mathbf{j} = 6\mathbf{i} + 2\mathbf{j}. ]
Ускорение частицы определяется как вторая производная радиус-вектора по времени: [ \mathbf{a}(t) = \frac{d\mathbf{v}}{dt} = \frac{d}{dt}(6t\mathbf{i} + 2\mathbf{j}) = 6\mathbf{i}. ]
Поставим ( t_0 = 1 ): [ \mathbf{a}(1) = 6\mathbf{i}. ]
Касательное ускорение ( a_t ) определяется как проекция полного ускорения на направление скорости. Вектор ускорения: (\mathbf{a}(t) = 6\mathbf{i}), а вектор скорости в момент времени ( t_0 = 1 ), (\mathbf{v}(1) = 6\mathbf{i} + 2\mathbf{j}).
Направление скорости: [ \mathbf{e}_v = \frac{\mathbf{v}}{|\mathbf{v}|} = \frac{6\mathbf{i} + 2\mathbf{j}}{\sqrt{6^2 + 2^2}} = \frac{6\mathbf{i} + 2\mathbf{j}}{\sqrt{36 + 4}} = \frac{6\mathbf{i} + 2\mathbf{j}}{\sqrt{40}} = \frac{6\mathbf{i} + 2\mathbf{j}}{2\sqrt{10}} = \frac{3\mathbf{i} + \mathbf{j}}{\sqrt{10}}. ]
Касательное ускорение: [ a_t = \mathbf{a} \cdot \mathbf{e}_v = 6\mathbf{i} \cdot \frac{3\mathbf{i} + \mathbf{j}}{\sqrt{10}} = \frac{6 \cdot 3}{\sqrt{10}} = \frac{18}{\sqrt{10}} = \frac{9\sqrt{10}}{5}. ]
Нормальное ускорение ( a_n ) определяется как: [ a_n = \sqrt{|\mathbf{a}|^2 - a_t^2}. ]
Модуль ускорения: [ |\mathbf{a}| = 6. ]
[ a_n = \sqrt{6^2 - \left(\frac{9\sqrt{10}}{5}\right)^2} = \sqrt{36 - \left(\frac{81 \cdot 10}{25}\right)} = \sqrt{36 - \frac{810}{25}} = \sqrt{36 - 32.4} = \sqrt{3.6}. ]
Радиус кривизны ( R ) определяется как: [ R = \frac{v^2}{a_n}. ]
Модуль скорости: [ |\mathbf{v}| = \sqrt{6^2 + 2^2} = \sqrt{36 + 4} = \sqrt{40} = 2\sqrt{10}. ]
Радиус кривизны: [ R = \frac{(2\sqrt{10})^2}{\sqrt{3.6}} = \frac{4 \cdot 10}{\sqrt{3.6}} = \frac{40}{\sqrt{3.6}} = \frac{40}{\sqrt{36/10}} = \frac{40}{6/\sqrt{10}} = \frac{40 \sqrt{10}}{6} = \frac{20 \sqrt{10}}{3}. ]
Таким образом, касательное ускорение: [ a_t = \frac{9\sqrt{10}}{5}, ] нормальное ускорение: [ a_n = \sqrt{3.6}, ] радиус кривизны: [ R = \frac{20 \sqrt{10}}{3}. ]
