Давайте разберем каждый вопрос по отдельности.
Вопрос 2
*Определите частоту электромагнитного излучения с длиной волны 2 мкм в среде с показателем преломления 1,5. Скорость света в вакууме 310^8 м/с.**
Длина волны в вакууме (\lambda_0 = 2) мкм = (2 \times 10^{-6}) м.
Показатель преломления (n = 1.5).
Скорость света в вакууме (c = 3 \times 10^8) м/с.
Скорость света в среде (v) определяется как:
[ v = \frac{c}{n} ]
Следовательно,
[ v = \frac{3 \times 10^8 \text{ м/с}}{1.5} = 2 \times 10^8 \text{ м/с} ]
Частота (\nu) определяется как:
[ \nu = \frac{v}{\lambda} ]
Длина волны в среде (\lambda) связана с длиной волны в вакууме (\lambda_0) как:
[ \lambda = \frac{\lambda_0}{n} ]
Следовательно,
[ \lambda = \frac{2 \times 10^{-6} \text{ м}}{1.5} = \frac{2}{1.5} \times 10^{-6} \text{ м} = 1.\overline{3} \times 10^{-6} \text{ м} ]
Теперь подставим значения:
[ \nu = \frac{2 \times 10^8 \text{ м/с}}{1.\overline{3} \times 10^{-6} \text{ м}} \approx 1.5 \times 10^{14} \text{ Гц} ]
Вопрос 3
Расстояние от предмета до экрана 90 см. На каком расстоянии от предмета следует разместить линзу оптическая сила которой 5 дптр, чтобы на экране получилось четкое изображение.
Оптическая сила (D = 5) дптр. Фокусное расстояние (f) определяется как:
[ f = \frac{1}{D} = \frac{1}{5} \text{ м} = 0.2 \text{ м} = 20 \text{ см} ]
Система уравнений для задачи:
[ d_o + d_i = 90 \text{ см} ]
[ \frac{1}{f} = \frac{1}{d_o} + \frac{1}{d_i} ]
Подставим (d_i = 90 - d_o):
[ \frac{1}{20} = \frac{1}{d_o} + \frac{1}{90 - d_o} ]
Решим это уравнение численно или аналитически и найдем (d_o).
Вопрос 4
Расстояние от предмета до рассеивающей линзы с фокусным расстоянием 4 см равно 12 см. Найдите расстояние от изображения до предмета.
Фокусное расстояние рассеивающей линзы (f = -4) см (отрицательное).
Расстояние от предмета до линзы (d_o = 12) см.
Используем формулу тонкой линзы:
[ \frac{1}{f} = \frac{1}{d_o} + \frac{1}{d_i} ]
Подставим значения:
[ \frac{1}{-4} = \frac{1}{12} + \frac{1}{d_i} ]
Решим уравнение:
[ \frac{1}{d_i} = \frac{1}{-4} - \frac{1}{12} = -\frac{1}{6} ]
Следовательно,
[ d_i = -6 \text{ см} ]
Расстояние от изображения до предмета:
[ 12 \text{ см} + 6 \text{ см} = 18 \text{ см} ]
Вопрос 5
Расстояние от предмета до экрана, где получается четкое изображение предмета, 4 см. Изображение в 3 раза больше самого предмета. Найдите фокусное расстояние линзы.
Пусть (d_o) — расстояние от предмета до линзы, (d_i) — расстояние от линзы до экрана.
Пусть (d_o + d_i = 4) см.
Условие увеличения: (\frac{d_i}{d_o} = 3).
Следовательно,
[ d_i = 3d_o ]
Подставим в уравнение:
[ d_o + 3d_o = 4 ]
[ 4d_o = 4 ]
[ d_o = 1 \text{ см}, \quad d_i = 3 \text{ см} ]
Фокусное расстояние:
[ \frac{1}{f} = \frac{1}{d_o} + \frac{1}{d_i} = \frac{1}{1} + \frac{1}{3} = 1 + \frac{1}{3} = \frac{4}{3} ]
Следовательно,
[ f = \frac{3}{4} \text{ см} = 0.75 \text{ см} ]
Вопрос 6
Предмет, расположенный в 125 см от собирающей линзы перпендикулярно ее главной оптической оси, дает на экране изображение высотой 25 мм. Найдите высоту предмета, если оптическая сила линзы 4 дптр.
Оптическая сила (D = 4) дптр. Фокусное расстояние (f = \frac{1}{D} = 0.25 \text{ м} = 25 \text{ см}).
Расстояние до предмета (d_o = 125 \text{ см}).
Используем формулу тонкой линзы:
[ \frac{1}{f} = \frac{1}{d_o} + \frac{1}{d_i} ]
Подставим значения:
[ \frac{1}{25} = \frac{1}{125} + \frac{1}{d_i} ]
Решим уравнение:
[ \frac{1}{d_i} = \frac{1}{25} - \frac{1}{125} = \frac{5 - 1}{125} = \frac{4}{125} ]
Следовательно,
[ d_i = \frac{125}{4} = 31.25 \text{ см} ]
Увеличение (M = \frac{d_i}{d_o} = \frac{31.25}{125} = 0.25 ).
Высота изображения (h_i = 25 \text{ мм} ).
Высота предмета (h_o):
[ h_o = \frac{h_i}{M} = \frac{25 \text{ мм}}{0.25} = 100 \text{ мм} = 10 \text{ см} ]
Вопрос 7
Дифракционная решетка имеет 150 штрихов на 1 мм. Найдите длину волны монохроматического света, падающего на решетку, если первый максимум наблюдается под углом, синус которого 0,06.
Число штрихов (N = 150) на 1 мм = (150 \times 10^3) на 1 м.
Период решетки (d = \frac{1}{N} = \frac{1}{150 \times 10^3} \text{ м}).
Синус угла для первого максимума (\sin \theta = 0.06).
Условие максимума:
[ d \sin \theta = m \lambda ]
Для первого максимума (m = 1):
[ \lambda = d \sin \theta ]
Подставим значения:
[ \lambda = \frac{1}{150 \times 10^3} \times 0.06 = 4 \times 10^{-7} \text{ м} = 400 \text{ нм} ]
Вопрос 8
При какой скорости электрона его релятивистская масса больше массы покоя в 2 раза.
Релятивистская масса (m) связана с массой покоя (m_0) как:
[ m = \gamma m_0 ]
Где (\gamma) — фактор Лоренца:
[ \gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}} ]
Для (m = 2m_0):
[ 2 = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}} ]
Решим уравнение:
[ \sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}} = \frac{1}{2} ]
[ 1 - \frac{v^2}{c^2} = \frac{1}{4} ]
[ \frac{v^2}{c^2} = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4} ]
[ v = c \sqrt{\frac{3}{4}} = \frac{c \sqrt{3}}{2} ]
[ v \approx 0.866c ]
Следовательно, скорость электрона должна быть примерно (0.866c), чтобы его релятивистская масса была в 2 раза больше массы покоя.
