Для решения задачи определим скорость автомобиля, используя законы динамики и силы, действующие на автомобиль.
Дано:
- Масса автомобиля ( m = 2000 \, \text{кг} );
- Радиус выпуклого моста ( R = 40 \, \text{м} );
- Вес автомобиля на мосту ( F_{\text{вес}} = 15 \, \text{кН} = 15000 \, \text{Н} );
- Ускорение свободного падения ( g = 9{,}8 \, \text{м/с}^2 ).
Шаг 1. Анализ сил, действующих на автомобиль.
На автомобиль действуют:
- Сила тяжести ( F_{\text{тяж}} = m \cdot g );
- Реакция опоры ( N ), которая является уменьшенной по сравнению с силой тяжести из-за центробежного ускорения, связанного с движением автомобиля по выпуклой траектории.
Вес автомобиля (сила, с которой автомобиль давит на мост) равен реакции опоры ( N ). При движении по выпуклой поверхности часть силы тяжести компенсируется центробежной силой, направленной вверх. Уравнение равновесия вдоль радиуса траектории можно записать как:
[
F_{\text{тяж}} - N = \frac{m \cdot v^2}{R},
]
где:
- ( F_{\text{тяж}} ) — сила тяжести,
- ( N ) — реакция опоры (равная весу автомобиля на мосту),
- ( \frac{m \cdot v^2}{R} ) — центробежная сила.
Шаг 2. Выразим силу тяжести ( F_{\text{тяж}} ).
Сила тяжести определяется как:
[
F_{\text{тяж}} = m \cdot g = 2000 \cdot 9{,}8 = 19600 \, \text{Н}.
]
Шаг 3. Подставим известные значения в уравнение.
Подставим ( F_{\text{тяж}} ), ( N ), и ( \frac{m \cdot v^2}{R} ) в уравнение:
[
F_{\text{тяж}} - N = \frac{m \cdot v^2}{R}.
]
Заменим численные значения:
[
19600 - 15000 = \frac{2000 \cdot v^2}{40}.
]
Шаг 4. Найдем ( v^2 ).
Упростим уравнение:
[
4600 = \frac{2000 \cdot v^2}{40}.
]
Сократим:
[
4600 = 50 \cdot v^2.
]
Разделим обе части уравнения на 50:
[
v^2 = \frac{4600}{50} = 92.
]
Шаг 5. Найдем ( v ).
[
v = \sqrt{92} \approx 9{,}6 \, \text{м/с}.
]
Ответ:
Скорость автомобиля составляет приблизительно 9,6 м/с.