Автомобиль массой 2 т, проходящий по выпуклому мосту радиусом 40 м, имеет вес 15 кН. С какой скоростью...

Для решения задачи используем формулу центростремительного ускорения и уравнение равновесия сил. При движении автомобиля по выпуклому мосту на него действуют силы тяжести и центростремительная сила.

1. Масса автомобиля ( m = 2 \, \text{т} = 2000 \, \text{кг} ).
2. Вес автомобиля ( F_g = 15 \, \text{кН} = 15000 \, \text{Н} ).
3. Радиус моста ( R = 40 \, \text{м} ).

Силы, действующие на автомобиль:

• Сила тяжести ( F_g = mg ).
• Центростремительная сила ( F_c = \frac{mv^2}{R} ).

Так как автомобиль движется по выпуклой поверхности, сумма этих сил равна центростремительной силе:

[ F_c = F_g - N ]

где ( N ) — нормальная сила.

Так как нормальная сила в данном случае равна нулю (автомобиль не отрывается от дороги), то:

[ \frac{mv^2}{R} = mg ]

Отсюда можно выразить скорость ( v ):

[ v^2 = gR ]

Подставляем известные значения (принимаем ( g \approx 9.81 \, \text{м/с}^2 )):

[ v^2 = 9.81 \, \text{м/с}^2 \cdot 40 \, \text{м} = 392.4 \, \text{м}^2/\text{с}^2 ]

Таким образом,

[ v = \sqrt{392.4} \approx 19.8 \, \text{м/с} ]

Автомобиль движется со скоростью примерно 19.8 м/с.

Для решения задачи определим скорость автомобиля, используя законы динамики и силы, действующие на автомобиль.

Дано:

• Масса автомобиля ( m = 2000 \, \text{кг} );
• Радиус выпуклого моста ( R = 40 \, \text{м} );
• Вес автомобиля на мосту ( F_{\text{вес}} = 15 \, \text{кН} = 15000 \, \text{Н} );
• Ускорение свободного падения ( g = 9{,}8 \, \text{м/с}^2 ).

Шаг 1. Анализ сил, действующих на автомобиль.

На автомобиль действуют:

1. Сила тяжести ( F_{\text{тяж}} = m \cdot g );
2. Реакция опоры ( N ), которая является уменьшенной по сравнению с силой тяжести из-за центробежного ускорения, связанного с движением автомобиля по выпуклой траектории.

Вес автомобиля (сила, с которой автомобиль давит на мост) равен реакции опоры ( N ). При движении по выпуклой поверхности часть силы тяжести компенсируется центробежной силой, направленной вверх. Уравнение равновесия вдоль радиуса траектории можно записать как:

[ F_{\text{тяж}} - N = \frac{m \cdot v^2}{R}, ]

где:

• ( F_{\text{тяж}} ) — сила тяжести,
• ( N ) — реакция опоры (равная весу автомобиля на мосту),
• ( \frac{m \cdot v^2}{R} ) — центробежная сила.

Шаг 2. Выразим силу тяжести ( F_{\text{тяж}} ).

Сила тяжести определяется как:

[ F_{\text{тяж}} = m \cdot g = 2000 \cdot 9{,}8 = 19600 \, \text{Н}. ]

Шаг 3. Подставим известные значения в уравнение.

Подставим ( F_{\text{тяж}} ), ( N ), и ( \frac{m \cdot v^2}{R} ) в уравнение:

[ F_{\text{тяж}} - N = \frac{m \cdot v^2}{R}. ]

Заменим численные значения:

[ 19600 - 15000 = \frac{2000 \cdot v^2}{40}. ]

Шаг 4. Найдем ( v^2 ).

Упростим уравнение:

[ 4600 = \frac{2000 \cdot v^2}{40}. ]

Сократим:

[ 4600 = 50 \cdot v^2. ]

Разделим обе части уравнения на 50:

[ v^2 = \frac{4600}{50} = 92. ]

Шаг 5. Найдем ( v ).

[ v = \sqrt{92} \approx 9{,}6 \, \text{м/с}. ]

Ответ: Скорость автомобиля составляет приблизительно 9,6 м/с.

Для решения задачи о движении автомобиля по выпуклому мосту, необходимо рассмотреть силы, действующие на автомобиль в данный момент времени, когда он находится на вершине моста.

1. Данные задачи:

   • Масса автомобиля ( m = 2 \, \text{т} = 2000 \, \text{кг} )
   • Радиус моста ( R = 40 \, \text{м} )
   • Вес автомобиля ( W = 15 \, \text{кН} = 15000 \, \text{Н} )

2. Сила тяжести: Сила тяжести ( F_g ), действующая на автомобиль, определяется по формуле: [ F_g = m \cdot g ] где ( g \approx 9.81 \, \text{м/с}^2 ) — ускорение свободного падения.

   Проверим, соответствует ли данный вес расчету: [ F_g = 2000 \, \text{кг} \cdot 9.81 \, \text{м/с}^2 \approx 19620 \, \text{Н} ] В задаче указано, что вес автомобиля — 15 кН. Это может означать, что в расчете веса учитываются другие факторы, но для данной задачи важно, что действующая сила тяжести равна 15000 Н.

3. Центростремительное ускорение: Когда автомобиль движется по выпуклому мосту, на него действует центростремительное ускорение ( a_c ), которое необходимо для поддержания его кругового движения: [ a_c = \frac{v^2}{R} ] где ( v ) — скорость автомобиля.

4. Сила, действующая на автомобиль: На автомобиль действуют две силы: сила тяжести ( F_g ) и центростремительная сила ( F_c ). В данном случае центростремительная сила равна разности между силой тяжести и нормальной силой, которую испытывает автомобиль: [ F_c = F_g - N ] где ( N ) — нормальная сила. В случае максимального ускорения на вершине моста нормальная сила может быть равна нулю, и тогда: [ F_g = m \cdot a_c ]

5. Запишем уравнение: При равенстве центростремительной силы и силы тяжести, получаем: [ F_g = m \cdot \frac{v^2}{R} ] Подставим известные значения: [ 15000 \, \text{Н} = 2000 \, \text{кг} \cdot \frac{v^2}{40 \, \text{м}} ]

6. Решим уравнение относительно ( v ): [ 15000 = 2000 \cdot \frac{v^2}{40} ] Упростим уравнение: [ 15000 = 50 v^2 ] Разделим обе стороны на 50: [ v^2 = \frac{15000}{50} = 300 ] Найдем скорость: [ v = \sqrt{300} \approx 17.32 \, \text{м/с} ]

Таким образом, скорость автомобиля, проходящего по выпуклому мосту радиусом 40 м, составляет approximately 17.32 м/с.