Автомобиль массой 5 т движется по вогнутому мосту со скоростью 72 км/ч. Мост образует дугу радиусом...

Для решения задачи сначала необходимо определить несколько ключевых величин, таких как скорость автомобиля в метрах в секунду, центростремительное ускорение, а также силы, действующие на автомобиль в момент, когда он находится в самой нижней точке вогнутого моста.

1. Преобразуем скорость из км/ч в м/с:

[ v = 72 \, \text{км/ч} = \frac{72 \times 1000}{3600} = 20 \, \text{м/с} ]

1. Найдем центростремительное ускорение. Оно определяется по формуле:

[ a_c = \frac{v^2}{r} ]

где ( r ) — радиус кривизны моста. Подставляем известные значения:

[ a_c = \frac{(20 \, \text{м/с})^2}{100 \, \text{м}} = \frac{400}{100} = 4 \, \text{м/с}^2 ]

1. Теперь найдем силу тяжести, действующую на автомобиль. Сила тяжести ( F_g ) вычисляется по формуле:

[ F_g = m \cdot g ]

где ( m ) — масса автомобиля (5 т = 5000 кг), ( g ) — ускорение свободного падения (примерно ( 9.81 \, \text{м/с}^2 )):

[ F_g = 5000 \, \text{кг} \cdot 9.81 \, \text{м/с}^2 = 49050 \, \text{Н} ]

1. Определим центростремительную силу ( F_c ), необходимую для поддержки движения автомобиля по вогнутой траектории. Центростремительная сила равна массе автомобиля, умноженной на центростремительное ускорение:

[ F_c = m \cdot a_c = 5000 \, \text{кг} \cdot 4 \, \text{м/с}^2 = 20000 \, \text{Н} ]

1. Теперь найдем результирующую силу, с которой автомобиль давит на мост в его нижней точке. В этой точке на автомобиль действуют две силы: сила тяжести ( F_g ), направленная вниз, и реакция мостa ( N ), которая также направлена вверх. В результате, согласно второму закону Ньютона, у нас есть уравнение:

[ N - F_g = -F_c ]

Здесь знак минус указывает на то, что центростремительная сила направлена в сторону центра кривизны (вверх). Перепишем уравнение:

[ N = F_g + F_c ]

Подставляем найденные значения:

[ N = 49050 \, \text{Н} + 20000 \, \text{Н} = 69050 \, \text{Н} ]

Таким образом, сила, с которой автомобиль давит на мост, проезжая его середину, составляет 69050 Н.

Давайте подробно разберем задачу.

Дано:

• Масса автомобиля: ( m = 5 \, \text{т} = 5000 \, \text{кг} ),
• Скорость автомобиля: ( v = 72 \, \text{км/ч} = 72 \cdot \frac{1000}{3600} = 20 \, \text{м/с} ),
• Радиус дуги моста: ( R = 100 \, \text{м} ).

Требуется найти:

Силу, с которой автомобиль давит на мост в его середине, то есть нормальную реакцию опоры ( N ).

Решение:

1. Силы, действующие на автомобиль в середине моста:

   • Сила тяжести: ( F_{\text{тяж}} = m \cdot g ), где ( g = 9.8 \, \text{м/с}^2 ) — ускорение свободного падения.
   • Нормальная реакция ( N ), которая и есть сила, с которой автомобиль давит на мост.

   При движении по вогнутому мосту автомобиль движется по окружности, а значит, на него действует центростремительное ускорение ( a_{\text{ц}} ), направленное к центру окружности. Это ускорение создается за счет разности силы тяжести и нормальной реакции моста.

   Уравнение второго закона Ньютона для движения по окружности в вертикальной плоскости: [ m \cdot a{\text{ц}} = F{\text{тяж}} - N. ]

2. Центростремительное ускорение: Центростремительное ускорение ( a{\text{ц}} ) выражается как: [ a{\text{ц}} = \frac{v^2}{R}, ] где ( v ) — скорость автомобиля, ( R ) — радиус дуги моста. Подставляем значения: [ a_{\text{ц}} = \frac{20^2}{100} = \frac{400}{100} = 4 \, \text{м/с}^2. ]

3. Сила тяжести: Сила тяжести автомобиля рассчитывается как: [ F_{\text{тяж}} = m \cdot g = 5000 \cdot 9.8 = 49000 \, \text{Н}. ]

4. Нормальная реакция (сила давления на мост): Используем уравнение второго закона Ньютона: [ m \cdot a{\text{ц}} = F{\text{тяж}} - N. ] Выразим ( N ): [ N = F{\text{тяж}} - m \cdot a{\text{ц}}. ] Подставляем значения: [ N = 49000 - 5000 \cdot 4 = 49000 - 20000 = 29000 \, \text{Н}. ]

Ответ:

Сила, с которой автомобиль давит на мост в его середине, равна ( N = 29000 \, \text{Н} ) или ( 29 \, \text{кН} ).