Человек, рост которого составляет 171 см, стоит под фонарём. Его тень при этом составляет154 см. Если...

Задача 1

Дано:

• Рост человека ( h_1 = 171 ) см
• Тень человека ( l_1 = 154 ) см
• После отхода на ( d = 0.36 ) м, тень станет ( l_2 = 226 ) см

Найти: Высоту фонаря ( H ).

Рассмотрим две ситуации:

1. Исходная ситуация:

   • Высота фонаря ( H )
   • Тень человека ( l_1 = 154 ) см

   Используем подобие треугольников: [ \frac{H - h_1}{l_1} = \frac{h_1}{l_1} ] Подставляем значения: [ \frac{H - 171}{154} = \frac{171}{154} ] Решаем уравнение: [ H - 171 = 171 ] [ H = 342 \text{ см} ]

2. После отхода на ( d ):

   • Тень человека ( l_2 = 226 ) см
   • Новое расстояние до фонаря ( l_1 + d )

   Используем аналогичное уравнение для подобия треугольников: [ \frac{H - 171}{226} = \frac{171}{154 + 36} ] Решаем уравнение и находим ( H ).

Задача 2

Дано:

• Высота дерева ( h_d = 1.5 ) м
• Длина тени дерева ( l_d = 4.1 ) м
• Рост девочки ( h_g = 132 ) см = 1.32 м

Найти: Длину тени девочки ( l_g ).

Используем подобие треугольников: [ \frac{h_d}{l_d} = \frac{h_g}{l_g} ] Подставляем значения: [ \frac{1.5}{4.1} = \frac{1.32}{l_g} ] Решаем уравнение: [ l_g = \frac{1.32 \cdot 4.1}{1.5} \approx 3.6 \text{ м} ]

Задача 3

Дано:

• Радиус диска ( R = 157 ) мм
• Расстояние от источника до диска ( d_1 )
• Расстояние от диска до экрана ( d_2 )
• ( d_2 = 2.8 \cdot d_1 )

Найти: Диаметр тени и во сколько раз площадь тени больше площади диска.

Диаметр тени ( D_t ): [ D_t = \frac{d_2 + d_1}{d_1} \cdot 2R ] Подставляем значения: [ D_t = \frac{2.8d_1 + d_1}{d_1} \cdot 2 \cdot 157 = 3.8 \cdot 2 \cdot 157 \approx 1192.4 \text{ мм} ]

Площадь тени ( A_t ): [ A_t = \pi \left(\frac{D_t}{2}\right)^2 = \pi \left(\frac{1192.4}{2}\right)^2 ]

Площадь диска ( A_d ): [ A_d = \pi R^2 = \pi \cdot 157^2 ]

Во сколько раз площадь тени больше площади диска: [ \frac{A_t}{A_d} = \frac{\pi \left(\frac{1192.4}{2}\right)^2}{\pi \cdot 157^2} = \left(\frac{1192.4}{2 \cdot 157}\right)^2 \approx 14.4 ]

Итак, ответы:

1. Высота фонаря ( H \approx 342 ) см.
2. Длина тени девочки ( l_g \approx 3.6 ) м.
3. Диаметр тени ( D_t \approx 1192.4 ) мм, площадь тени больше площади диска примерно в 14.4 раза.

1. Для решения данной задачи нам необходимо воспользоваться подобием треугольников. Обозначим высоту фонаря как h. Тогда по первому случаю имеем: 171 / h = 154 / (h - 0,36) Отсюда получаем h ≈ 1,54 м. По второму случаю: 171 / h = 226 / (h - 0,36) Отсюда получаем h ≈ 2,26 м. Таким образом, фонарь висит на высоте примерно 226 - 154 = 72 см над землей.

2. Для решения этой задачи также воспользуемся подобием треугольников. По условию: 1,5 / 4,1 = 132 / x Отсюда получаем x ≈ 0,55 м. Длина тени девочки будет примерно 55 см.

3. Пусть расстояние от источника света до диска равно d. Тогда расстояние от диска до экрана будет равно 2,8d. По подобию треугольников: 157 / d = (157 + x) / (2,8d) Отсюда получаем x ≈ 134,5 мм. Площадь тени равна π(157/2)^2 ≈ 19485,4 мм², а площадь диска равна π(157)^2 ≈ 77344,9 мм². Таким образом, площадь тени в ≈ 3,98 раза больше площади диска.