Два автомобиля движутся по взаимно перпендикулярным дорогам. Скорость первого относительно дороги по...

Для решения данной задачи, можно воспользоваться формулой сложения скоростей в разных направлениях.

Обозначим скорость первого автомобиля относительно дороги как (v_1), скорость второго относительно первого как (v2), и модуль скорости второго относительно дороги как (v{2'}).

Имеем: [v_1 = v] [v_2 = \sqrt{2}v]

Теперь выразим скорость второго автомобиля относительно дороги: [v_{2'} = \sqrt{v_1^2 + v_2^2} = \sqrt{v^2 + (\sqrt{2}v)^2} = \sqrt{v^2 + 2v^2} = \sqrt{3v^2} = \sqrt{3}v]

Итак, модуль скорости второго автомобиля относительно дороги равен (\sqrt{3}v).

Давайте разберем задачу. У нас есть два автомобиля, движущихся по взаимно перпендикулярным дорогам. Обозначим скорость первого автомобиля относительно дороги как ( \vec{v}_1 ), где модуль скорости равен ( v ).

Скорость второго автомобиля относительно первого обозначим как ( \vec{v}_{2/1} ), и по условию её модуль равен ( \sqrt{2}v ).

Мы ищем модуль скорости второго автомобиля относительно дороги, который обозначим как ( \vec{v}_2 ).

Шаги решения:

1. Выбор системы координат:

   • Пусть первый автомобиль движется вдоль оси ( x ) с скоростью ( \vec{v}_1 = (v, 0) ).
   • Второй автомобиль движется вдоль оси ( y ) (перпендикулярно первому) с некоторой скоростью относительно дороги, которую мы обозначим как ( \vec{v}_2 = (0, v_2) ).

2. Рассмотрение относительной скорости:

   • Скорость второго автомобиля относительно первого ( \vec{v}{2/1} ) равна разности скорости второго автомобиля относительно дороги и скорости первого автомобиля: [ \vec{v}{2/1} = \vec{v}_2 - \vec{v}_1 ]
   • Подставляя известные выражения, получаем: [ \vec{v}_{2/1} = (0, v_2) - (v, 0) = (-v, v_2) ]

3. Использование условия на модуль относительной скорости:

   • По условию задачи, модуль скорости второго автомобиля относительно первого равен ( \sqrt{2}v ): [ \sqrt{(-v)^2 + v_2^2} = \sqrt{2}v ]
   • Упростим это уравнение: [ \sqrt{v^2 + v_2^2} = \sqrt{2}v ]
   • Возведем обе стороны в квадрат: [ v^2 + v_2^2 = 2v^2 ]
   • Решим это уравнение относительно ( v_2^2 ): [ v_2^2 = 2v^2 - v^2 = v^2 ]
   • Таким образом, ( v_2 = v ).

Вывод:

Модуль скорости второго автомобиля относительно дороги равен ( v ). Это соответствует скорости первого автомобиля, что логично, учитывая заданные условия задачи.