Два шара, радиусы которых 5 и 8 см, а потенциалы соответсвенно 120 и 50 В, соединяют проводом. найти...

Для решения этой задачи воспользуемся законами электростатики. Шары являются проводящими, поэтому, когда их соединяют проводом, они достигают состояния равновесия, при котором их потенциалы становятся равными. В процессе перераспределения зарядов сохраняется общий заряд системы, так как заряд не исчезает.

Дано:

1. Радиусы шаров:
   (R_1 = 5 \, \text{см} = 0.05 \, \text{м}),
   (R_2 = 8 \, \text{см} = 0.08 \, \text{м}).
2. Начальные потенциалы шаров:
   ( \varphi_1 = 120 \, \text{В} ),
   ( \varphi_2 = 50 \, \text{В} ).
3. Конечный потенциал шаров после соединения: ( \varphi ) (один и тот же для обоих шаров, так как они соединены проводом).

Требуется найти:

1. Потенциал шаров после их соединения (( \varphi )).
2. Заряд, перешедший из одного шара в другой (( q_{\text{пер}} )).

Решение:

1. Связь потенциала и заряда шара

Для проводящего шара потенциал связан с его зарядом следующим образом:

[ \varphi = \frac{q}{C}, ]

где:

• ( q ) — заряд шара,
• ( C = kR ) — ёмкость шара (формула ёмкости проводящего шара в свободном пространстве),
• ( k = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \approx 9 \cdot 10^9 \, \text{Н·м}^2/\text{Кл}^2 ) — электрическая постоянная,
• ( R ) — радиус шара.

Таким образом, для шара: [ q = C \cdot \varphi = k R \cdot \varphi. ]

2. Заряды начальные

Для первого шара заряд: [ q_1 = k R_1 \varphi_1 = (9 \cdot 10^9) \cdot 0.05 \cdot 120 = 54 \cdot 10^9 = 5.4 \cdot 10^{-8} \, \text{Кл}. ]

Для второго шара заряд: [ q_2 = k R_2 \varphi_2 = (9 \cdot 10^9) \cdot 0.08 \cdot 50 = 36 \cdot 10^9 = 3.6 \cdot 10^{-8} \, \text{Кл}. ]

3. Сохранение заряда

При соединении заряд перераспределяется, но суммарный заряд системы остается неизменным. То есть: [ q_{\text{сум}} = q_1 + q2, ] [ q{\text{сум}} = 5.4 \cdot 10^{-8} + 3.6 \cdot 10^{-8} = 9.0 \cdot 10^{-8} \, \text{Кл}. ]

4. Потенциал после соединения

После соединения потенциалы шаров равны (( \varphi )). Потенциал шара определяется как: [ \varphi = \frac{q}{kR}. ]

В системе из двух шаров общий заряд распределяется так, что общий потенциал выражается через сумму ёмкостей шаров: [ \varphi = \frac{q_{\text{сум}}}{k (R_1 + R_2)}. ]

Подставляем значения: [ \varphi = \frac{9.0 \cdot 10^{-8}}{9 \cdot 10^9 \cdot (0.05 + 0.08)}. ]

Находим знаменатель: [ k (R_1 + R_2) = 9 \cdot 10^9 \cdot 0.13 = 1.17 \cdot 10^9. ]

Теперь находим потенциал: [ \varphi = \frac{9.0 \cdot 10^{-8}}{1.17 \cdot 10^9} \approx 76.92 \, \text{В}. ]

Итак, потенциал шаров после соединения: [ \varphi \approx 76.92 \, \text{В}. ]

5. Заряды шаров после соединения

Найдем заряды каждого шара после соединения через их радиусы и общий потенциал: [ q_1' = k R_1 \varphi = (9 \cdot 10^9) \cdot 0.05 \cdot 76.92 \approx 3.4614 \cdot 10^{-8} \, \text{Кл}. ]

[ q_2' = k R_2 \varphi = (9 \cdot 10^9) \cdot 0.08 \cdot 76.92 \approx 5.5386 \cdot 10^{-8} \, \text{Кл}. ]

6. Заряд, перешедший из одного шара в другой

Заряд, перешедший из одного шара в другой (( q{\text{пер}} )), равен разности начального и конечного зарядов для любого из шаров. Рассчитаем для первого шара: [ q{\text{пер}} = q_1 - q_1' = 5.4 \cdot 10^{-8} - 3.4614 \cdot 10^{-8} \approx 1.9386 \cdot 10^{-8} \, \text{Кл}. ]

Ответ:

1. Потенциал шаров после соединения:
   [ \varphi \approx 76.92 \, \text{В}. ]

2. Заряд, перешедший из одного шара в другой:
   [ q_{\text{пер}} \approx 1.94 \cdot 10^{-8} \, \text{Кл}. ]

Для решения задачи о соединении двух сферических проводников с разными потенциалами, необходимо учитывать, что при соединении проводников их потенциалы выравниваются. Рассмотрим два шара: первый радиусом ( R_1 = 5 ) см и потенциалом ( U_1 = 120 ) В, второй радиусом ( R_2 = 8 ) см и потенциалом ( U_2 = 50 ) В.

Шаг 1: Определение зарядов на шарах

Заряд на сфере можно выразить через её потенциал и радиус по формуле:

[ Q = C \cdot U ]

где ( C ) — ёмкость сферы, которая определяется как:

[ C = 4 \pi \varepsilon_0 R ]

где ( \varepsilon_0 ) — электрическая постоянная (( \varepsilon_0 \approx 8.85 \times 10^{-12} \, \text{Ф/м} )).

Теперь найдём ёмкости и заряды для каждого шара:

1. Для первого шара:

[ C_1 = 4 \pi \varepsilon_0 R_1 = 4 \pi (8.85 \times 10^{-12}) (0.05) \approx 5.57 \times 10^{-12} \, \text{Ф} ]

[ Q_1 = C_1 \cdot U_1 = (5.57 \times 10^{-12}) (120) \approx 6.68 \times 10^{-10} \, \text{Кл} ]

1. Для второго шара:

[ C_2 = 4 \pi \varepsilon_0 R_2 = 4 \pi (8.85 \times 10^{-12}) (0.08) \approx 8.88 \times 10^{-12} \, \text{Ф} ]

[ Q_2 = C_2 \cdot U_2 = (8.88 \times 10^{-12}) (50) \approx 4.44 \times 10^{-10} \, \text{Кл} ]

Шаг 2: Общий заряд и новые потенциалы

После соединения шаров общий заряд ( Q_{total} ) будет равен:

[ Q_{total} = Q_1 + Q_2 \approx (6.68 \times 10^{-10}) + (4.44 \times 10^{-10}) \approx 1.31 \times 10^{-9} \, \text{Кл} ]

Теперь, когда шары соединены, потенциал ( Uf ) будет одинаковым и его можно найти, используя общую ёмкость ( C{total} = C_1 + C_2 ):

[ C_{total} = C_1 + C_2 \approx (5.57 \times 10^{-12}) + (8.88 \times 10^{-12}) \approx 1.45 \times 10^{-11} \, \text{Ф} ]

Теперь, используя общий заряд, находим новый потенциал:

[ Uf = \frac{Q{total}}{C_{total}} \approx \frac{1.31 \times 10^{-9}}{1.45 \times 10^{-11}} \approx 90.34 \, \text{В} ]

Шаг 3: Заряд, перешедший из одного шара в другой

Теперь найдем, какой заряд перешел от одного шара к другому.

1. Для первого шара:

   • Новый заряд ( Q_1' = C_1 \cdot U_f )
   • ( Q_1' = (5.57 \times 10^{-12}) \cdot (90.34) \approx 5.03 \times 10^{-10} \, \text{Кл} )

   Заряд, перешедший от первого шара: [ \Delta Q_1 = Q_1 - Q_1' \approx (6.68 \times 10^{-10}) - (5.03 \times 10^{-10}) \approx 1.65 \times 10^{-10} \, \text{Кл} ]

2. Для второго шара:

   • Новый заряд ( Q_2' = C_2 \cdot U_f )
   • ( Q_2' = (8.88 \times 10^{-12}) \cdot (90.34) \approx 8.01 \times 10^{-10} \, \text{Кл} )

   Заряд, перешедший на второй шар: [ \Delta Q_2 = Q_2' - Q_2 \approx (8.01 \times 10^{-10}) - (4.44 \times 10^{-10}) \approx 3.57 \times 10^{-10} \, \text{Кл} ]

Ответ

После соединения шаров:

• Потенциал обоих шаров станет равным ( U_f \approx 90.34 \, \text{В} ).
• Заряд, перешедший от первого шара к второму ( \Delta Q_1 \approx 1.65 \times 10^{-10} \, \text{Кл} ).