Два тела с зарядами 4 • 10-9 Кл и 10-9 Кл находятся на расстоянии 24 см друг от друга. В какой точке на линии, соединяющей эти тела, надо поместить заряженное тело, чтобы оно оказалось в равновесии?
Два тела с зарядами 4 • 10-9 Кл и 10-9 Кл находятся на расстоянии 24 см друг от друга. В какой точке на линии, соединяющей эти тела, надо поместить заряженное тело, чтобы оно оказалось в равновесии?
Для того чтобы найти точку равновесия на линии, соединяющей два заряженных тела, нужно учитывать силы электростатического взаимодействия между зарядами.
Сила, действующая на заряженное тело от первого заряда, равна F1 = k (q1 q) / r1^2, где k - постоянная Кулона (8.99 • 10^9 Н•м^2/Кл^2), q1 и q - заряды тел, r1 - расстояние от первого тела до точки, где находится заряженное тело.
Сила, действующая на заряженное тело от второго заряда, равна F2 = k (q2 q) / r2^2, где q2 - заряд второго тела, r2 - расстояние от второго тела до точки, где находится заряженное тело.
Точка равновесия находится там, где сумма этих двух сил равна нулю: F1 + F2 = 0. Подставляя формулы для сил и расстояний, можно найти координаты точки равновесия.
Таким образом, для данной задачи необходимо решить уравнение F1 + F2 = 0 и найти координаты точки, где это уравнение выполняется.
Для того чтобы определить точку на линии, соединяющей два заряженных тела, в которой надо поместить заряженное тело для достижения равновесия, нужно рассмотреть силы, действующие на это тело со стороны обоих зарядов.
Обозначим заряды как ( q_1 = 4 \times 10^{-9} ) Кл и ( q_2 = 1 \times 10^{-9} ) Кл, а расстояние между ними ( d = 24 ) см (или 0.24 м).
Предположим, что точка равновесия находится на расстоянии ( x ) от заряда ( q_1 ). Тогда расстояние от этой точки до заряда ( q_2 ) будет ( (d - x) ).
Для равновесия силы, действующие на заряженное тело, должны быть равны по величине и противоположны по направлению. Воспользуемся законом Кулона, который определяет силу взаимодействия двух точечных зарядов:
[ F = k \frac{|q_1 q_2|}{r^2} ]
где ( k ) — электрическая постоянная (( k \approx 8.99 \times 10^9 \, \text{Н·м}^2/\text{Кл}^2 )).
Для заряженного тела с зарядом ( q ), находящегося в точке равновесия: [ F_1 = k \frac{|q_1 q|}{x^2} ] [ F_2 = k \frac{|q_2 q|}{(d - x)^2} ]
Для равновесия: [ F_1 = F_2 ]
Тогда: [ k \frac{|q_1 q|}{x^2} = k \frac{|q_2 q|}{(d - x)^2} ]
Сокращаем ( k ) и ( q ): [ \frac{|q_1|}{x^2} = \frac{|q_2|}{(d - x)^2} ]
Подставляем значения ( q_1 ) и ( q_2 ): [ \frac{4 \times 10^{-9}}{x^2} = \frac{1 \times 10^{-9}}{(0.24 - x)^2} ]
Сокращаем ( 10^{-9} ): [ \frac{4}{x^2} = \frac{1}{(0.24 - x)^2} ]
Решаем это уравнение: [ 4 (0.24 - x)^2 = x^2 ]
Раскроем скобки: [ 4 (0.24^2 - 2 \cdot 0.24 \cdot x + x^2) = x^2 ] [ 4 \cdot 0.0576 - 4 \cdot 0.48 \cdot x + 4x^2 = x^2 ] [ 0.2304 - 1.92x + 4x^2 = x^2 ]
Переносим все члены в одну сторону: [ 4x^2 - x^2 - 1.92x + 0.2304 = 0 ] [ 3x^2 - 1.92x + 0.2304 = 0 ]
Решаем квадратное уравнение: [ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} ]
где ( a = 3 ), ( b = -1.92 ), ( c = 0.2304 ): [ x = \frac{1.92 \pm \sqrt{(-1.92)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 0.2304}}{2 \cdot 3} ] [ x = \frac{1.92 \pm \sqrt{3.6864 - 2.7648}}{6} ] [ x = \frac{1.92 \pm \sqrt{0.9216}}{6} ] [ x = \frac{1.92 \pm 0.96}{6} ]
Получаем два корня: [ x_1 = \frac{1.92 + 0.96}{6} = \frac{2.88}{6} = 0.48 \, \text{м} ] [ x_2 = \frac{1.92 - 0.96}{6} = \frac{0.96}{6} = 0.16 \, \text{м} ]
Поскольку ( x_1 = 0.48 ) м больше, чем расстояние между зарядами, это решение не подходит. Поэтому единственным физически возможным решением является:
[ x = 0.16 \, \text{м} ]
Таким образом, заряженное тело должно быть помещено на расстоянии 0.16 м от заряда ( q_1 ) или на расстоянии 0.08 м (24 см - 16 см) от заряда ( q_2 ) для достижения равновесия.
