Две планеты с одинаковыми массами обращаются по круговым орбитам вокруг звезды. Для первой из них сила притяжения к звезде в 4 раза больше, чем для второй. Каково отношение радиусов орбит первой и второй планет?
Мне нужно подробнейшее описание всех ваших действий: что, почему и как!
Для решения задачи о двух планетах, обращающихся по круговым орбитам вокруг звезды, воспользуемся законом всемирного тяготения и законами движения по круговой орбите.
Согласно закону всемирного тяготения Ньютона, сила притяжения ( F ) между звездой и планетой дается формулой: [ F = \frac{G M m}{r^2} ] где:
По условию задачи, для первой планеты сила притяжения в 4 раза больше, чем для второй: [ F_1 = 4 F_2 ]
Для первой планеты: [ F_1 = \frac{G M m}{r_1^2} ]
Для второй планеты: [ F_2 = \frac{G M m}{r_2^2} ]
Подставим выражения для ( F_1 ) и ( F_2 ) в уравнение ( F_1 = 4 F_2 ): [ \frac{G M m}{r_1^2} = 4 \frac{G M m}{r_2^2} ]
Заметим, что ( G ), ( M ) и ( m ) одинаковы для обеих планет и сокращаются: [ \frac{1}{r_1^2} = 4 \frac{1}{r_2^2} ]
Перепишем уравнение в следующем виде: [ \frac{1}{r_1^2} = \frac{4}{r_2^2} ]
Преобразуем это уравнение: [ r_2^2 = 4 r_1^2 ]
Возьмем квадратный корень из обеих частей уравнения: [ r_2 = 2 r_1 ]
Итак, отношение радиусов орбит второй планеты к первой: [ \frac{r_2}{r_1} = 2 ]
Таким образом, радиус орбиты второй планеты в 2 раза больше радиуса орбиты первой планеты.
Для начала нам нужно воспользоваться законом всемирного тяготения Ньютона, который гласит, что сила притяжения между двумя объектами пропорциональна произведению их масс и обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними. Таким образом, если сила притяжения к звезде для первой планеты в 4 раза больше, чем для второй, то отношение их масс будет 4:1.
Теперь рассмотрим формулу для центростремительной силы, действующей на планету в круговой орбите: F = (m*v^2)/r, где F - центростремительная сила, m - масса планеты, v - скорость планеты на орбите, r - радиус орбиты. Поскольку массы планет одинаковы, мы можем понять, что отношение скоростей на их орбитах также будет равно 4:1.
Далее, воспользуемся законом сохранения энергии для системы планета-звезда: потенциальная энергия планеты на орбите равна ее кинетической энергии. Поскольку на планету действует одна и та же сила притяжения к звезде, но с разными радиусами орбит, мы можем записать уравнение: GMm/r = (m*v^2)/2, где G - гравитационная постоянная, M - масса звезды, m - масса планеты.
Из этого уравнения можно выразить скорость планеты на орбите: v = sqrt((2GM)/r). Теперь мы можем найти отношение радиусов орбит первой и второй планет, выразив их через скорости на орбитах: r1/r2 = (v1^2)/(v2^2). Подставив значения, найденные ранее, мы получим отношение радиусов орбит первой и второй планет.
Итак, подробный анализ позволяет нам выяснить, что отношение радиусов орбит первой и второй планет равно 2:1.
