Две планеты с одинаковыми массами обращаются по круговым орбитам вокруг звезды. Для первой из них сила...

Для решения задачи о двух планетах, обращающихся по круговым орбитам вокруг звезды, воспользуемся законом всемирного тяготения и законами движения по круговой орбите.

Шаг 1: Закон всемирного тяготения

Согласно закону всемирного тяготения Ньютона, сила притяжения ( F ) между звездой и планетой дается формулой: [ F = \frac{G M m}{r^2} ] где:

• ( G ) — гравитационная постоянная,
• ( M ) — масса звезды,
• ( m ) — масса планеты,
• ( r ) — радиус орбиты планеты.

Шаг 2: Сравнение сил притяжения

По условию задачи, для первой планеты сила притяжения в 4 раза больше, чем для второй: [ F_1 = 4 F_2 ]

Шаг 3: Выразим силы притяжения для каждой планеты

Для первой планеты: [ F_1 = \frac{G M m}{r_1^2} ]

Для второй планеты: [ F_2 = \frac{G M m}{r_2^2} ]

Шаг 4: Установим отношение сил

Подставим выражения для ( F_1 ) и ( F_2 ) в уравнение ( F_1 = 4 F_2 ): [ \frac{G M m}{r_1^2} = 4 \frac{G M m}{r_2^2} ]

Шаг 5: Упрощение уравнения

Заметим, что ( G ), ( M ) и ( m ) одинаковы для обеих планет и сокращаются: [ \frac{1}{r_1^2} = 4 \frac{1}{r_2^2} ]

Шаг 6: Решим уравнение для отношения радиусов

Перепишем уравнение в следующем виде: [ \frac{1}{r_1^2} = \frac{4}{r_2^2} ]

Преобразуем это уравнение: [ r_2^2 = 4 r_1^2 ]

Возьмем квадратный корень из обеих частей уравнения: [ r_2 = 2 r_1 ]

Шаг 7: Итоговое отношение радиусов орбит

Итак, отношение радиусов орбит второй планеты к первой: [ \frac{r_2}{r_1} = 2 ]

Таким образом, радиус орбиты второй планеты в 2 раза больше радиуса орбиты первой планеты.

Для начала нам нужно воспользоваться законом всемирного тяготения Ньютона, который гласит, что сила притяжения между двумя объектами пропорциональна произведению их масс и обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними. Таким образом, если сила притяжения к звезде для первой планеты в 4 раза больше, чем для второй, то отношение их масс будет 4:1.

Теперь рассмотрим формулу для центростремительной силы, действующей на планету в круговой орбите: F = (m*v^2)/r, где F - центростремительная сила, m - масса планеты, v - скорость планеты на орбите, r - радиус орбиты. Поскольку массы планет одинаковы, мы можем понять, что отношение скоростей на их орбитах также будет равно 4:1.

Далее, воспользуемся законом сохранения энергии для системы планета-звезда: потенциальная энергия планеты на орбите равна ее кинетической энергии. Поскольку на планету действует одна и та же сила притяжения к звезде, но с разными радиусами орбит, мы можем записать уравнение: GMm/r = (m*v^2)/2, где G - гравитационная постоянная, M - масса звезды, m - масса планеты.

Из этого уравнения можно выразить скорость планеты на орбите: v = sqrt((2GM)/r). Теперь мы можем найти отношение радиусов орбит первой и второй планет, выразив их через скорости на орбитах: r1/r2 = (v1^2)/(v2^2). Подставив значения, найденные ранее, мы получим отношение радиусов орбит первой и второй планет.

Итак, подробный анализ позволяет нам выяснить, что отношение радиусов орбит первой и второй планет равно 2:1.