Электрон, пройдя ускоряющую разность потенциалов U=400 В, попал в однородное магнитное поле с индукцией В=1,5 мТл. Определить: 1) радиус R кривизны траектории; 2) частоту n вращения электрона в магнитном поле. Вектор скорости электрона перпендикулярен линиям индукции.
1) Радиус R кривизны траектории электрона в магнитном поле определяется формулой R = mv/(qB), где m - масса электрона, v - скорость электрона, q - заряд электрона, B - индукция магнитного поля.
2) Частота n вращения электрона в магнитном поле определяется формулой n = qB/(2πm).
1) Радиус R кривизны траектории электрона можно найти с помощью формулы для радиуса Лармора: R = mv/(qB), где m - масса электрона, v - скорость электрона, q - заряд электрона, B - индукция магнитного поля.
Сначала найдем скорость электрона. Энергия электрона после ускорения в электрическом поле равна энергии его движения в магнитном поле: eU = (mv^2)/2, где e - заряд электрона, U - ускоряющая разность потенциалов.
Из этого уравнения найдем скорость электрона: v = sqrt(2eU/m).
Подставим скорость в формулу для радиуса Лармора и найдем его: R = (msqrt(2eU/m))/(qB) = sqrt(2eUm)/(qB).
2) Частоту n вращения электрона в магнитном поле можно найти по формуле: n = v/(2π*R).
Подставим найденные значения для скорости и радиуса и найдем частоту вращения электрона в магнитном поле.
Чтобы решить эту задачу, начнем с определения скорости электрона после прохождения ускоряющей разности потенциалов.
Энергия, приобретенная электроном при прохождении разности потенциалов ( U ), равна его кинетической энергии:
[ eU = \frac{mv^2}{2} ]
где:
Решим это уравнение относительно скорости ( v ):
[ v = \sqrt{\frac{2eU}{m}} ]
Подставим значения:
[ v = \sqrt{\frac{2 \times 1.6 \times 10^{-19} \, \text{Кл} \times 400 \, \text{В}}{9.11 \times 10^{-31} \, \text{кг}}} ]
[ v \approx \sqrt{\frac{1.28 \times 10^{-16} \, \text{Дж}}{9.11 \times 10^{-31} \, \text{кг}}} ]
[ v \approx \sqrt{1.4 \times 10^{14} \, \text{м}^2/\text{с}^2} ]
[ v \approx 3.74 \times 10^7 \, \text{м/с} ]
При движении электрона в магнитном поле на него действует сила Лоренца, которая обеспечивает центростремительное ускорение:
[ F = evB = \frac{mv^2}{R} ]
Решим это уравнение относительно радиуса ( R ):
[ R = \frac{mv}{eB} ]
Подставим значения:
[ R = \frac{9.11 \times 10^{-31} \, \text{кг} \times 3.74 \times 10^7 \, \text{м/с}}{1.6 \times 10^{-19} \, \text{Кл} \times 1.5 \times 10^{-3} \, \text{Тл}} ]
[ R \approx \frac{3.41 \times 10^{-23} \, \text{кг} \cdot \text{м/с}}{2.4 \times 10^{-22} \, \text{Кл} \cdot \text{Тл}} ]
[ R \approx 0.142 \, \text{м} ]
Частота вращения ( n ) равна отношению скорости к длине окружности, по которой движется электрон:
[ n = \frac{v}{2\pi R} ]
Подставим значения:
[ n = \frac{3.74 \times 10^7 \, \text{м/с}}{2\pi \times 0.142 \, \text{м}} ]
[ n \approx \frac{3.74 \times 10^7 \, \text{м/с}}{0.892 \, \text{м}} ]
[ n \approx 4.19 \times 10^7 \, \text{с}^{-1} ]
Таким образом, радиус кривизны траектории электрона равен примерно 0.142 м, а частота его вращения в магнитном поле составляет примерно ( 4.19 \times 10^7 \, \text{Гц} ).
