Горизонтальная платформа массой m и радиусом R вращается с угловой скоростью w. На краю платформы стоит...

Для решения задачи о вращении горизонтальной платформы с человеком, который перемещается от края к центру, мы будем использовать закон сохранения момента импульса. В системе, где нет внешних крутящих моментов, момент импульса сохраняется.

Рассмотрим начальную ситуацию:

1. Платформа массой ( m ) и радиусом ( R ) вращается с угловой скоростью ( \omega ).
2. На краю платформы стоит человек массой ( m_1 ).

Момент инерции платформы относительно её центра можно выразить как: [ I_{\text{платформа}} = \frac{1}{2} m R^2 ]

Человека можно рассматривать как материальную точку, и его момент инерции относительно центра платформы на краю (радиус ( R )) будет: [ I_{\text{человек}} = m_1 R^2 ]

Таким образом, полный момент инерции системы (платформа + человек) в начальный момент времени: [ I{\text{система нач}} = I{\text{платформа}} + I_{\text{человек}} = \frac{1}{2} m R^2 + m_1 R^2 ]

Полный момент импульса системы в начальный момент времени: [ L{\text{нач}} = I{\text{система нач}} \cdot \omega = \left( \frac{1}{2} m R^2 + m_1 R^2 \right) \omega ]

Теперь рассмотрим конечную ситуацию, когда человек переместился к центру платформы. Его момент инерции относительно центра платформы теперь будет нулевым, так как радиус вращения стал равен нулю: [ I_{\text{человек в центре}} = 0 ]

Момент инерции платформы остаётся тем же: [ I_{\text{платформа}} = \frac{1}{2} m R^2 ]

Полный момент инерции системы в конечный момент времени: [ I{\text{система кон}} = I{\text{платформа}} = \frac{1}{2} m R^2 ]

Так как момент импульса системы сохраняется: [ L{\text{нач}} = L{\text{кон}} ]

Момент импульса системы в конечный момент времени: [ L{\text{кон}} = I{\text{система кон}} \cdot \omega_1 = \frac{1}{2} m R^2 \cdot \omega_1 ]

Приравниваем начальный и конечный моменты импульса: [ \left( \frac{1}{2} m R^2 + m_1 R^2 \right) \omega = \frac{1}{2} m R^2 \cdot \omega_1 ]

Разделим обе части уравнения на ( \frac{1}{2} m R^2 ): [ \left( 1 + \frac{2 m_1}{m} \right) \omega = \omega_1 ]

Отсюда выражаем угловую скорость ( \omega_1 ) платформы после перемещения человека к центру: [ \omega_1 = \left( 1 + \frac{2 m_1}{m} \right) \omega ]

Преобразуем немного: [ \omega_1 = \left( \frac{2 m_1 + m}{m} \right) \omega ]

Таким образом, угловая скорость платформы после того, как человек переместился к центру, будет: [ \omega_1 = \left( \frac{2 m_1 + m}{m} \right) \omega ]

Ответ соответствует данному выражению: [ \omega_1 = \left( \frac{2 m_1 + m}{m} \right) \omega ]

При переходе человека от края платформы к ее центру происходит изменение момента инерции системы. Из закона сохранения момента импульса получаем, что момент инерции системы до и после перехода один и тот же:

mR^2w = (m1R^2)w1

где mR^2 - момент инерции системы до перехода человека, а (m1R^2)*w1 - момент инерции системы после перехода.

Решая уравнение относительно w1, получаем:

w1 = ((2m1 + m)/m) w

Таким образом, скорость вращения платформы после того, как человек перешел к центру, будет равна ((2m1 + m)/m) w.