Идеальный одноатомный газ в количестве ν=0,09 моль находится в равновесии в вертикальном цилиндре под...

Площадь поршня равна S = 0,009 м².

Для решения данной задачи можно воспользоваться уравнением идеального газа:

pV = nRT,

где p - давление газа, V - объем газа, n - количество вещества газа, R - универсальная газовая постоянная, T - температура газа.

Из условия задачи известно, что количество вещества газа ν = 0,09 моль, а температура газа увеличилась на ΔT = 16 К. Пусть начальная температура газа была T1, а конечная T2 = T1 + ΔT.

Также известно, что поршень поднялся на высоту Δh = 4 см, что означает, что работа газа при расширении равна работе силы тяжести, совершенной на поршне:

pΔV = mgΔh,

где ΔV - изменение объема газа, m - масса поршня, g - ускорение свободного падения.

Из уравнения состояния идеального газа и закона Бойля-Мариотта можно получить:

V1 = (nRT1)/p, V2 = (nRT2)/p, V2 - V1 = ΔV.

Таким образом, можно найти начальный объем газа V1 и конечный объем газа V2, а затем найти изменение объема газа ΔV.

После этого можно найти площадь поршня S по формуле:

S = ΔV/h,

где h - высота поршня.

Подставив все известные значения, можно определить площадь поршня.

Для решения этой задачи нужно воспользоваться уравнением состояния идеального газа и учитывать силы, действующие на поршень.

Дано:

• Количество вещества, (\nu = 0.09) моль
• Масса поршня, (m = 5) кг
• Атмосферное давление, (p_{\text{atm}} = 100) кПа = (100,000) Па
• Изменение высоты подъема поршня, (\Delta h = 0.04) м
• Изменение температуры, (\Delta T = 16) К
• Ускорение свободного падения, (g = 9.81) м/с²

Необходимо найти:

• Площадь поршня, (A)

Решение:

Поршень находится в равновесии, поэтому на него действуют следующие силы:

1. Сила давления со стороны газа: (F_{\text{gas}} = P \times A)
2. Сила тяжести, действующая на поршень: (F_{\text{gravity}} = m \times g)
3. Сила атмосферного давления: (F{\text{atm}} = p{\text{atm}} \times A)

Так как поршень находится в равновесии, то [F{\text{gas}} = F{\text{gravity}} + F_{\text{atm}}]

То есть: [P \times A = m \times g + p_{\text{atm}} \times A]

Таким образом, давление газа (P) можно выразить как: [P = \frac{m \times g}{A} + p_{\text{atm}}]

При нагревании газа его давление изменяется. Используем уравнение состояния идеального газа: [P V = \nu R T]

Где:

• (V) — объем газа
• (R \approx 8.314) Дж/(моль·К) — универсальная газовая постоянная

Изменение объема газа (\Delta V) при подъеме поршня на (\Delta h) выражается как: [\Delta V = A \times \Delta h]

Увеличение температуры (\Delta T) приведет к изменению давления газа (\Delta P). Используем уравнение состояния идеального газа в дифференциальной форме: [\Delta(PV) = \nu R \Delta T]

Так как объем изменяется, (\Delta V), можно записать: [V_0 \Delta P + P_0 \Delta V = \nu R \Delta T]

Где (V_0 = A \times h_0) — начальный объем, (h_0) — начальная высота, и (P_0) — начальное давление газа.

Подставим (\Delta V = A \times \Delta h): [A h_0 \Delta P + P_0 A \Delta h = \nu R \Delta T]

При малых изменениях (\Delta P) можно пренебречь изменением объема и принять (h_0 \approx 0), тогда: [P_0 A \Delta h = \nu R \Delta T]

Подставляем известные значения: [(p_{\text{atm}} + \frac{m \times g}{A}) A \Delta h = \nu R \Delta T]

Решаем относительно площади (A): [(100,000 + \frac{5 \times 9.81}{A}) A \times 0.04 = 0.09 \times 8.314 \times 16]

Решаем это уравнение: [100,000 \times 0.04 \times A + 5 \times 9.81 \times 0.04 = 0.09 \times 8.314 \times 16]

Решаем это уравнение для (A): [4,000 \times A + 1.962 = 11.97]

[4,000 \times A = 11.97 - 1.962]

[4,000 \times A = 10.008]

[A = \frac{10.008}{4,000}]

[A = 0.002502 \, \text{м}^2]

Таким образом, площадь поршня равна (0.002502 \, \text{м}^2).