Изображение предмета помещенного перед собирающей линзой на расстоянии 60 см получено по другую сторону...

Для решения задачи используем основные свойства собирающей линзы и формулу линзы:

[ \frac{1}{f} = \frac{1}{d_o} + \frac{1}{d_i} ]

где:

• ( f ) — фокусное расстояние линзы,
• ( d_o ) — расстояние от предмета до линзы,
• ( d_i ) — расстояние от изображения до линзы.

Сначала определим фокусное расстояние линзы. Дано, что предмет находится на расстоянии ( d_o = 60 ) см от линзы и изображение получается в натуральную величину. Это значит, что увеличение ( K ) равно 1:

[ K = \frac{h_i}{h_o} = \frac{d_i}{d_o} ]

где ( h_i ) и ( h_o ) — высоты изображения и предмета соответственно. Поскольку ( K = 1 ), это означает, что ( d_i = d_o ). Следовательно, ( d_i = 60 ) см.

Теперь подставим эти значения в формулу линзы:

[ \frac{1}{f} = \frac{1}{60} + \frac{1}{60} ]

[ \frac{1}{f} = \frac{2}{60} = \frac{1}{30} ]

Таким образом, фокусное расстояние линзы:

[ f = 30 \text{ см} ]

Теперь переместим предмет ближе к линзе на 20 см. Новое расстояние от предмета до линзы:

[ d_o' = 60 - 20 = 40 \text{ см} ]

Теперь найдем новое расстояние изображения ( d_i' ) с помощью формулы линзы:

[ \frac{1}{f} = \frac{1}{d_o'} + \frac{1}{d_i'} ] [ \frac{1}{30} = \frac{1}{40} + \frac{1}{d_i'} ]

Вычтем ( \frac{1}{40} ) из обеих сторон уравнения:

[ \frac{1}{d_i'} = \frac{1}{30} - \frac{1}{40} ]

Для выполнения вычитания приведем дроби к общему знаменателю (120):

[ \frac{1}{30} = \frac{4}{120}, \quad \frac{1}{40} = \frac{3}{120} ]

Следовательно:

[ \frac{1}{d_i'} = \frac{4}{120} - \frac{3}{120} = \frac{1}{120} ]

Теперь найдем ( d_i' ):

[ d_i' = 120 \text{ см} ]

Теперь можно найти новое увеличение ( K' ):

[ K' = \frac{d_i'}{d_o'} = \frac{120}{40} = 3 ]

Таким образом, размер изображения увеличится в 3 раза, когда предмет будет перемещен на 20 см ближе к линзе.

Давайте разберем задачу шаг за шагом с использованием основных законов оптики.

Дано:

1. Фокусное расстояние собирающей линзы ( f ) неизвестно.
2. Расстояние от предмета до линзы в первом случае ( d_1 = 60 \, \text{см} ).

3. Изображение получается в натуральную величину. Это означает, что линза создает изображение с увеличением ( k = 1 ), то есть размеры изображения равны размерам предмета. Увеличение ( k ) также связано с расстояниями ( d ) и ( d' ) (предмета и изображения) следующим соотношением: [ k = \frac{d'}{d}. ] При ( k = 1 ), очевидно, расстояние до изображения ( d'_1 = d_1 = 60 \, \text{см} ).

4. Во втором случае расстояние до предмета становится ( d_2 = 60 - 20 = 40 \, \text{см} ). Нужно определить, во сколько раз увеличится размер изображения.

Решение:

1. Найдём фокусное расстояние ( f ) линзы.

Из закона тонкой линзы: [ \frac{1}{f} = \frac{1}{d} + \frac{1}{d'}, ] где ( d ) — расстояние от предмета до линзы, ( d' ) — расстояние от изображения до линзы.

Подставим значения для первого случая (( d = d' = 60 \, \text{см} )): [ \frac{1}{f} = \frac{1}{60} + \frac{1}{60} = \frac{2}{60} = \frac{1}{30}. ] Таким образом, фокусное расстояние линзы: [ f = 30 \, \text{см}. ]

2. Найдём новое расстояние до изображения ( d'_2 ), когда предмет находится на расстоянии ( d_2 = 40 \, \text{см} ).

Опять применим формулу тонкой линзы: [ \frac{1}{f} = \frac{1}{d_2} + \frac{1}{d'_2}. ] Подставляем известные значения (( f = 30 \, \text{см}, d_2 = 40 \, \text{см} )): [ \frac{1}{30} = \frac{1}{40} + \frac{1}{d'_2}. ] Вычислим ( \frac{1}{d'_2} ): [ \frac{1}{d'_2} = \frac{1}{30} - \frac{1}{40}. ] Приведём к общему знаменателю: [ \frac{1}{d'_2} = \frac{4}{120} - \frac{3}{120} = \frac{1}{120}. ] Отсюда: [ d'_2 = 120 \, \text{см}. ]

3. Найдём увеличение ( k_2 ) во втором случае.

Увеличение ( k ) определяется соотношением: [ k = \frac{d'}{d}. ] Для второго случая: [ k_2 = \frac{d'_2}{d_2} = \frac{120}{40} = 3. ]

Таким образом, во втором случае увеличение равно ( k_2 = 3 ), то есть размеры изображения в 3 раза больше, чем размеры предмета.

4. Сравним увеличение в двух случаях.

В первом случае увеличение ( k_1 = 1 ), а во втором ( k_2 = 3 ). Следовательно, размер изображения увеличится в: [ \frac{k_2}{k_1} = \frac{3}{1} = 3 \, \text{раза}. ]

Ответ:

Если предмет передвинуть на 20 см ближе к линзе, размер изображения увеличится в 3 раза.