Какова длина математического маятника, совершающего колебания с частотой 1Гц

Математический маятник — это идеализированная модель маятника, состоящего из материальной точки, подвешенной на невесомой нерастяжимой нити. Основные параметры, описывающие маятник, включают его длину ( l ) и период колебаний ( T ).

Период колебаний математического маятника в случае малых амплитуд (где можно использовать приближение малых углов) выражается формулой:

[ T = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g}} ]

где:

• ( T ) — период колебаний,
• ( l ) — длина маятника,
• ( g ) — ускорение свободного падения (приблизительно ( 9.81 \, \text{м/с}^2 ) на поверхности Земли).

Частота колебаний ( f ) связана с периодом ( T ) обратной зависимостью:

[ f = \frac{1}{T} ]

В данном случае частота маятника равна ( 1 \, \text{Гц} ).

Подставим частоту в формулу для периода:

[ T = \frac{1}{f} = \frac{1}{1 \, \text{Гц}} = 1 \, \text{с} ]

Теперь подставим значение периода ( T ) в исходную формулу для периода и выразим длину ( l ):

[ 1 = 2\pi \sqrt{\frac{l}{9.81}} ]

Решим это уравнение относительно ( l ):

1. Разделим обе стороны уравнения на ( 2\pi ):

[ \frac{1}{2\pi} = \sqrt{\frac{l}{9.81}} ]

1. Возведем обе стороны уравнения в квадрат, чтобы избавиться от корня:

[ \left(\frac{1}{2\pi}\right)^2 = \frac{l}{9.81} ]

[ \frac{1}{4\pi^2} = \frac{l}{9.81} ]

1. Умножим обе стороны уравнения на ( 9.81 ):

[ l = 9.81 \cdot \frac{1}{4\pi^2} ]

1. Теперь подставим значение ( \pi ) (приблизительно 3.14159):

[ l = 9.81 \cdot \frac{1}{4 \cdot (3.14159)^2} ]

1. Посчитаем значение в знаменателе:

[ 4 \cdot (3.14159)^2 \approx 39.478 ]

1. Теперь найдем длину маятника:

[ l \approx \frac{9.81}{39.478} \approx 0.248 \, \text{м} ]

Таким образом, длина математического маятника, который совершает колебания с частотой 1 Гц, составляет приблизительно ( 0.248 ) метра.

Длина математического маятника, совершающего колебания с частотой 1 Гц, может быть найдена с помощью формулы для периода колебаний математического маятника:

T = 2π√(l/g),

где T - период колебаний (в секундах), l - длина маятника (в метрах), g - ускорение свободного падения (приблизительно 9,81 м/с^2 на поверхности Земли).

Поскольку частота колебаний f обратно пропорциональна периоду T (f = 1/T), мы можем переписать формулу для периода в виде:

T = 1/f,

Тогда подставив это выражение в формулу для периода, получим:

1/f = 2π√(l/g),

Из этого уравнения можно выразить длину математического маятника:

l = (g/4π^2) / f^2.

Таким образом, длина математического маятника, совершающего колебания с частотой 1 Гц, составляет примерно 0,025 метра (или 2,5 сантиметра).