Какую работу А нужно совершить, чтобы поднять грунт на поверхность земли при рытье колодца, имеющего глубину h = 10 м и поперечное сечение S=2м^2? Средняя плотность грунта p = 2*10 кг/м^3. Считать, что вынимаемый грунт рассыпается тонким слоем на поверхности земли.
Для того чтобы определить, какую работу A нужно совершить, чтобы поднять грунт на поверхность земли при рытье колодца, необходимо учесть несколько факторов.
Объем вынимаемого грунта: Колодец имеет глубину h = 10 м и поперечное сечение S = 2 м². Объем V вынимаемого грунта можно вычислить по формуле: [ V = S \cdot h = 2 \, \text{м}^2 \cdot 10 \, \text{м} = 20 \, \text{м}^3. ]
Масса вынимаемого грунта: Зная объем и среднюю плотность грунта ( \rho = 2 \times 10^3 \, \text{кг/м}^3 ), можно найти массу ( m ) грунта: [ m = V \cdot \rho = 20 \, \text{м}^3 \cdot (2 \times 10^3 \, \text{кг/м}^3) = 40,000 \, \text{кг}. ]
Работа, совершаемая для подъема грунта: Работа, необходимая для подъема грунта, будет зависеть от высоты, на которую поднимается каждая часть грунта. Так как грунт поднимается с глубины h, необходимо рассмотреть, что разные его части поднимаются на разные высоты. В частности, часть грунта, находящаяся на глубине ( x ) (где ( x ) изменяется от 0 до h), поднимается на высоту ( h - x ).
Для нахождения работы, необходимой для подъема всего объема грунта, можно использовать интеграл: [ A = \int_0^h m(x) \cdot g \cdot (h - x) \, dx, ] где ( m(x) ) - это масса элемента грунта, а ( g ) - ускорение свободного падения (приблизительно ( 9.81 \, \text{м/с}^2 )).
Поскольку плотность грунта постоянна, масса элемента грунта на глубине ( dx ) равна: [ dm = \rho \cdot S \cdot dx = (2 \times 10^3 \, \text{кг/м}^3) \cdot (2 \, \text{м}^2) \cdot dx = 4 \times 10^3 \, dx. ]
Теперь подставим в интеграл: [ A = \int_0^{10} (4 \times 10^3) \cdot g \cdot (10 - x) \, dx. ]
Это можно упростить: [ A = 4 \times 10^3 \cdot g \cdot \int_0^{10} (10 - x) \, dx. ]
Теперь вычислим интеграл: [ \int_0^{10} (10 - x) \, dx = \left[ 10x - \frac{x^2}{2} \right]_0^{10} = \left[ 100 - 50 \right] - 0 = 50. ]
Подставляя значение интеграла, получаем: [ A = 4 \times 10^3 \cdot g \cdot 50 = 200,000 \cdot g. ]
Подставляя значение ( g \approx 9.81 \, \text{м/с}^2 ): [ A \approx 200,000 \cdot 9.81 \approx 1,962,000 \, \text{Дж}. ]
Таким образом, работа, необходимая для подъема грунта на поверхность земли при рытье колодца глубиной 10 м с поперечным сечением 2 м² и средней плотностью 2 т/м³, составляет примерно 1,962,000 Дж (или 1.96 МДж).
Для решения задачи определим, какую работу ( A ) нужно совершить, чтобы поднять весь грунт из колодца на поверхность земли.
Объем грунта, который вынимается из колодца, равен: [ V = S \cdot h. ] Подставляем значения: [ V = 2 \cdot 10 = 20 \, \text{м}^3. ]
Масса грунта определяется по формуле: [ m = \rho \cdot V. ] Подставляем значения: [ m = 2 \cdot 10^3 \cdot 20 = 4 \cdot 10^4 \, \text{кг}. ]
Грунт поднимается с разной глубины, так что нужно учитывать, что каждый слой имеет свой "средний путь" подъема.
Рассмотрим элементарный слой грунта на глубине ( x ) с толщиной ( dx ). Масса этого слоя равна ( dm = \rho \cdot S \cdot dx ). Для подъема этого слоя на поверхность нужно совершить работу: [ dA = g \cdot dm \cdot x. ] Подставим ( dm = \rho \cdot S \cdot dx ): [ dA = g \cdot \rho \cdot S \cdot x \cdot dx. ]
Полная работа равна интегралу по всему объему грунта, то есть от ( x = 0 ) до ( x = h ): [ A = \int_0^h g \cdot \rho \cdot S \cdot x \, dx. ]
Параметры ( g ), ( \rho ), и ( S ) — константы, их выносим за знак интеграла: [ A = g \cdot \rho \cdot S \cdot \int_0^h x \, dx. ]
Рассчитаем интеграл: [ \int_0^h x \, dx = \left[ \frac{x^2}{2} \right]_0^h = \frac{h^2}{2}. ]
Подставляем результат интеграла: [ A = g \cdot \rho \cdot S \cdot \frac{h^2}{2}. ]
[ A = 9.8 \cdot (2 \cdot 10^3) \cdot 2 \cdot \frac{10^2}{2}. ]
Упрощаем: [ A = 9.8 \cdot 2 \cdot 10^3 \cdot 2 \cdot 50. ] [ A = 9.8 \cdot 2 \cdot 10^3 \cdot 100. ] [ A = 1.96 \cdot 10^6 \, \text{Дж}. ]
Для подъема грунта на поверхность земли нужно совершить работу: [ A = 1.96 \cdot 10^6 \, \text{Дж} \, \text{(или 1.96 МДж)}. ]
