мальчик массой 50 кг находится на тележке массой 50 кг, движущейся слева на право по гладкой горизонтальной дороге со скоростью 1 м/с. Каким станут модуль и направление тележки, если мальчик прыгнет с нее в направлении первоначальной скорости тележки со скоростью 1,5 м/с относительно дороги?
После прыжка мальчик и тележка будут двигаться в противоположных направлениях. Модуль скорости тележки увеличится до 1,5 м/с.
Чтобы решить эту задачу, необходимо применить закон сохранения импульса. Закон сохранения импульса утверждает, что в закрытой системе, где нет внешних сил, суммарный импульс до и после взаимодействия остается постоянным.
В данной задаче система состоит из мальчика и тележки. До прыжка суммарный импульс системы равен сумме импульсов мальчика и тележки:
[ p{\text{initial}} = (m{\text{boy}} + m{\text{cart}}) \cdot v{\text{initial}} = (50\, \text{кг} + 50\, \text{кг}) \cdot 1\, \text{м/с} = 100\, \text{кг} \cdot \text{м/с}. ]
После прыжка импульс системы распределяется между мальчиком и тележкой. Импульс мальчика после прыжка:
[ p{\text{boy}} = m{\text{boy}} \cdot v_{\text{boy}} = 50\, \text{кг} \cdot 1.5\, \text{м/с} = 75\, \text{кг} \cdot \text{м/с}. ]
Обозначим скорость тележки после прыжка как ( v_{\text{cart}} ). Тогда импульс тележки:
[ p{\text{cart}} = m{\text{cart}} \cdot v{\text{cart}} = 50\, \text{кг} \cdot v{\text{cart}}. ]
По закону сохранения импульса:
[ p{\text{initial}} = p{\text{boy}} + p_{\text{cart}}, ]
[ 100\, \text{кг} \cdot \text{м/с} = 75\, \text{кг} \cdot \text{м/с} + 50\, \text{кг} \cdot v_{\text{cart}}. ]
Решим это уравнение для ( v_{\text{cart}} ):
[ 100 = 75 + 50 \cdot v_{\text{cart}}, ]
[ 50 \cdot v_{\text{cart}} = 25, ]
[ v_{\text{cart}} = \frac{25}{50} = 0.5\, \text{м/с}. ]
Таким образом, после того как мальчик прыгнет с тележки, тележка будет двигаться со скоростью 0.5 м/с в направлении первоначальной скорости.
Изначально система мальчик-тележка имеет общий центр масс, который движется со скоростью 1 м/с. Когда мальчик прыгнет с тележки, система разделится на две части: мальчик, движущийся со скоростью 1,5 м/с относительно дороги, и тележка, движущаяся со скоростью 1 м/с.
С учетом закона сохранения импульса, модуль и направление движения тележки после того, как мальчик прыгнет, будут определяться так, чтобы обеспечить сохранение импульса в системе.
Модуль скорости тележки после прыжка мальчика можно найти по формуле: m1v1 + m2v2 = (m1 + m2)v, где m1 - масса мальчика, v1 - его скорость, m2 - масса тележки, v2 - ее скорость, v - скорость тележки после прыжка мальчика.
Подставляя известные значения: (50 кг 1,5 м/с) + (50 кг 1 м/с) = (50 кг + 50 кг) v, 75 кгм/с + 50 кгм/с = 100 кг v, 125 кгм/с = 100 кг v, v = 1,25 м/с.
Таким образом, модуль скорости тележки после того, как мальчик прыгнет с нее, будет равен 1,25 м/с. Направление движения тележки останется прежним, то есть слева на право по гладкой горизонтальной дороге.
