Маленькая шайба движется по наклонному желобу, переходящему в окружность. Минимальная высота h, с которой...

Для решения этой задачи мы будем использовать закон сохранения энергии и условия для центростремительного движения.

1. Закон сохранения энергии: В начале движения потенциальная энергия шайбы на высоте ( h ) равна ( mgh ), где ( m ) — масса шайбы, ( g ) — ускорение свободного падения, ( h ) — высота (0,5 м в данной задаче). Кинетическая энергия в начальной точке равна нулю, так как шайба начинает движение из состояния покоя.

   В верхней точке окружности потенциальная энергия шайбы равна ( mg(2R) ), где ( R ) — радиус окружности. Также в этой точке у шайбы есть кинетическая энергия, равная ( \frac{1}{2}mv^2 ).

   Исходя из закона сохранения энергии: [ mgh = mg(2R) + \frac{1}{2}mv^2 ]

2. Условие для центростремительного ускорения: Чтобы шайба не оторвалась в верхней точке окружности, центростремительное ускорение должно быть не меньше ускорения свободного падения. Это условие можно записать как: [ \frac{v^2}{R} = g ]

   Отсюда: [ v^2 = gR ]

3. Подстановка и решение: Подставим выражение для ( v^2 ) из второго условия в уравнение закона сохранения энергии: [ mgh = mg(2R) + \frac{1}{2}m(gR) ]

   Упростим это уравнение: [ gh = g(2R) + \frac{1}{2}gR ]

   Разделим обе части на ( g ): [ h = 2R + \frac{1}{2}R ]

   [ h = \frac{5}{2}R ]

   Выразим ( R ): [ R = \frac{2}{5}h ]

   Подставим значение ( h = 0,5 ) м: [ R = \frac{2}{5} \times 0,5 = 0,2 \, \text{м} ]

Таким образом, радиус окружности равен 0,2 метра.

Для того чтобы шайба не отрывалась от желоба в верхней точке окружности, необходимо, чтобы сила реакции опоры была достаточно большой, чтобы компенсировать центростремительное ускорение шайбы.

Сначала определим условие, при котором шайба начнет отрываться от желоба. Для этого воспользуемся законом сохранения энергии: ( mgh = \frac{mv^2}{2} ), где m - масса шайбы, h - высота начальной точки, v - скорость шайбы в верхней точке окружности.

Отсюда найдем скорость шайбы в верхней точке окружности: ( v = \sqrt{2gh} ).

Сила реакции опоры в верхней точке окружности равна ( N = \frac{mv^2}{r} ), где r - радиус окружности.

Подставляем выражение для скорости и условие минимальной высоты: ( N = \frac{m(2gh)}{r} ).

Так как мы пренебрегаем трением, то сила реакции опоры должна быть равна силе тяжести, т.е. ( mg = \frac{m(2gh)}{r} ).

Отсюда находим радиус окружности: ( r = \frac{2h}{g} ).

Подставляем значение h = 0,5 м и ускорение свободного падения g = 9,8 м/с²: ( r = \frac{2 \cdot 0,5}{9,8} = 0,102 ) м.

Таким образом, радиус окружности, при котором шайба не отрывается от желоба в верхней точке, равен 0,102 м.