Материальная точка движется по окружности радиусом 1м,Найдите путь и перемещение точки за время в течение...

Давайте подробно разберем задачу.

Дано:

• Радиус окружности, ( R = 1 \, \text{м} ).
• Угол поворота радиус-вектора, ( \theta = 120^\circ = \frac{2\pi}{3} \, \text{рад} ).

Требуется найти:

1. Путь, который прошла материальная точка.
2. Перемещение точки.

1. Путь:

Путь — это длина дуги, по которой движется точка. Длина дуги окружности ( S ) определяется по формуле:

[ S = R \cdot \theta, ]

где:

• ( R ) — радиус окружности,
• ( \theta ) — центральный угол, выраженный в радианах.

Подставляем значения:

[ S = 1 \cdot \frac{2\pi}{3} = \frac{2\pi}{3} \, \text{м}. ]

Таким образом, путь, пройденный точкой, равен:

[ S = \frac{2\pi}{3} \approx 2.09 \, \text{м}. ]

2. Перемещение:

Перемещение — это вектор, соединяющий начальное и конечное положение точки. Поскольку точка движется по окружности, начальное положение и конечное положение разделены хордой.

Длина перемещения равна длине этой хорды. Длина хорды ( d ) в окружности определяется по формуле:

[ d = 2R \sin\left(\frac{\theta}{2}\right), ]

где:

• ( R = 1 \, \text{м} ) — радиус окружности,
• ( \theta = \frac{2\pi}{3} \, \text{рад} ) — центральный угол, описывающий дугу.

Подставляем значения:

[ d = 2 \cdot 1 \cdot \sin\left(\frac{\frac{2\pi}{3}}{2}\right) = 2 \cdot \sin\left(\frac{\pi}{3}\right). ]

Известно, что ( \sin\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2} ). Подставляем:

[ d = 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}. ]

Таким образом, длина перемещения равна:

[ d = \sqrt{3} \approx 1.73 \, \text{м}. ]

Итоговые ответы:

1. Путь, пройденный точкой: ( S = \frac{2\pi}{3} \approx 2.09 \, \text{м} ).
2. Перемещение: ( d = \sqrt{3} \approx 1.73 \, \text{м} ).

Для решения задачи о движении материальной точки по окружности радиусом 1 м, необходимо определить путь и перемещение точки за время, в течение которого радиус-вектор точки повернулся на 120 градусов.

1. Путь

Путь, пройденный материальной точкой, можно найти, используя формулу для длины дуги окружности. Длина дуги ( s ) определяется как:

[ s = r \cdot \theta, ]

где:

• ( r ) — радиус окружности (в данном случае ( r = 1 ) м),
• ( \theta ) — угол в радианах.

Угол в 120 градусов необходимо перевести в радианы. Для этого используем соотношение:

[ \theta = \frac{120 \cdot \pi}{180} = \frac{2\pi}{3} \text{ радиан}. ]

Теперь подставим значения в формулу для длины дуги:

[ s = 1 \cdot \frac{2\pi}{3} = \frac{2\pi}{3} \text{ м}. ]

Таким образом, путь, пройденный материальной точкой, равен ( \frac{2\pi}{3} ) метра.

2. Перемещение

Перемещение — это векторная величина, определяющая разницу между конечной и начальной позициями точки. Начальная и конечная позиции можно определить с помощью координат в круговой системе.

Если начальная позиция точки соответствует углу ( 0 ) радиан, то ее координаты в начале будут:

[ (1, 0). ]

После поворота на 120 градусов (или ( \frac{2\pi}{3} ) радиан) координаты точки можно найти следующим образом:

• ( x )-координата: ( x = r \cdot \cos(\theta) = 1 \cdot \cos\left(\frac{2\pi}{3}\right) = 1 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = -\frac{1}{2} ),
• ( y )-координата: ( y = r \cdot \sin(\theta) = 1 \cdot \sin\left(\frac{2\pi}{3}\right) = 1 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2} ).

Таким образом, конечные координаты точки после поворота на 120 градусов:

[ \left(-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}\right). ]

Теперь найдем перемещение. Оно определяется как вектор от начальной позиции ((1, 0)) до конечной позиции (\left(-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}\right)):

[ \Delta x = -\frac{1}{2} - 1 = -\frac{3}{2}, ] [ \Delta y = \frac{\sqrt{3}}{2} - 0 = \frac{\sqrt{3}}{2}. ]

Теперь найдем длину вектора перемещения:

[ \Delta s = \sqrt{(\Delta x)^2 + (\Delta y)^2} = \sqrt{\left(-\frac{3}{2}\right)^2 + \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2} = \sqrt{\frac{9}{4} + \frac{3}{4}} = \sqrt{\frac{12}{4}} = \sqrt{3}. ]

Итог

• Путь, пройденный точкой: ( \frac{2\pi}{3} ) метра.
• Перемещение точки: ( \sqrt{3} ) метра.