Для решения задачи о движении материальной точки по окружности радиусом 1 м, необходимо определить путь и перемещение точки за время, в течение которого радиус-вектор точки повернулся на 120 градусов.
1. Путь
Путь, пройденный материальной точкой, можно найти, используя формулу для длины дуги окружности. Длина дуги ( s ) определяется как:
[
s = r \cdot \theta,
]
где:
- ( r ) — радиус окружности (в данном случае ( r = 1 ) м),
- ( \theta ) — угол в радианах.
Угол в 120 градусов необходимо перевести в радианы. Для этого используем соотношение:
[
\theta = \frac{120 \cdot \pi}{180} = \frac{2\pi}{3} \text{ радиан}.
]
Теперь подставим значения в формулу для длины дуги:
[
s = 1 \cdot \frac{2\pi}{3} = \frac{2\pi}{3} \text{ м}.
]
Таким образом, путь, пройденный материальной точкой, равен ( \frac{2\pi}{3} ) метра.
2. Перемещение
Перемещение — это векторная величина, определяющая разницу между конечной и начальной позициями точки. Начальная и конечная позиции можно определить с помощью координат в круговой системе.
Если начальная позиция точки соответствует углу ( 0 ) радиан, то ее координаты в начале будут:
[
(1, 0).
]
После поворота на 120 градусов (или ( \frac{2\pi}{3} ) радиан) координаты точки можно найти следующим образом:
- ( x )-координата: ( x = r \cdot \cos(\theta) = 1 \cdot \cos\left(\frac{2\pi}{3}\right) = 1 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = -\frac{1}{2} ),
- ( y )-координата: ( y = r \cdot \sin(\theta) = 1 \cdot \sin\left(\frac{2\pi}{3}\right) = 1 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2} ).
Таким образом, конечные координаты точки после поворота на 120 градусов:
[
\left(-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}\right).
]
Теперь найдем перемещение. Оно определяется как вектор от начальной позиции ((1, 0)) до конечной позиции (\left(-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}\right)):
[
\Delta x = -\frac{1}{2} - 1 = -\frac{3}{2},
]
[
\Delta y = \frac{\sqrt{3}}{2} - 0 = \frac{\sqrt{3}}{2}.
]
Теперь найдем длину вектора перемещения:
[
\Delta s = \sqrt{(\Delta x)^2 + (\Delta y)^2} = \sqrt{\left(-\frac{3}{2}\right)^2 + \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2} = \sqrt{\frac{9}{4} + \frac{3}{4}} = \sqrt{\frac{12}{4}} = \sqrt{3}.
]
Итог
- Путь, пройденный точкой: ( \frac{2\pi}{3} ) метра.
- Перемещение точки: ( \sqrt{3} ) метра.