На оптической оси линзы с фокусным расстоянием 20 см помещена светящаяся точка на расстоянии 30 см от...

Для решения задачи о получении изображения светящейся точки через линзу, необходимо использовать формулу тонкой линзы и некоторые геометрические соотношения.

Шаг 1: Определение положения изображения

Сначала применим формулу тонкой линзы:

[ \frac{1}{f} = \frac{1}{d{o}} + \frac{1}{d{i}} ]

где:

• ( f ) — фокусное расстояние линзы (20 см);
• ( d_{o} ) — расстояние от объекта до линзы (30 см);
• ( d_{i} ) — расстояние от линзы до изображения.

Подставляем известные значения:

[ \frac{1}{20} = \frac{1}{30} + \frac{1}{d_{i}} ]

Теперь найдем ( \frac{1}{d_{i}} ):

[ \frac{1}{d_{i}} = \frac{1}{20} - \frac{1}{30} ]

Приведем дроби к общему знаменателю:

[ \frac{1}{20} = \frac{3}{60}, \quad \frac{1}{30} = \frac{2}{60} ]

Тогда:

[ \frac{1}{d_{i}} = \frac{3}{60} - \frac{2}{60} = \frac{1}{60} ]

Теперь найдем ( d_{i} ):

[ d_{i} = 60 \text{ см} ]

Шаг 2: Определение увеличения

Увеличение линзы (m) можно найти по формуле:

[ m = -\frac{d{i}}{d{o}} = -\frac{60}{30} = -2 ]

Это означает, что изображение будет в 2 раза больше по размеру и перевернуто по сравнению с объектом.

Шаг 3: Определение размера пятна

Теперь нам нужно узнать, каков диаметр пятна на экране. Поскольку диаметр линзы равен 3 см, и с учетом увеличения, изображение точки будет иметь диаметр:

[ D = m \cdot D_{o} ]

где ( D_{o} ) — диаметр светящейся точки (в данном случае, будем считать, что он равен диаметру линзы, т.е. 3 см).

Подставим значения:

[ D = 2 \cdot 3 \text{ см} = 6 \text{ см} ]

Заключение

Таким образом, диаметр пятна на экране, находящемся в фокальной плоскости линзы, составит 6 см.

Для определения диаметра пятна на экране, можно использовать формулу увеличения линзы:

[ \frac{h'}{h} = \frac{f}{f - d} ]

где:

• (h') — высота изображения,
• (h) — высота объекта (в данном случае можно считать, что высота точки равна 0, но мы можем принять некий размер, например, 3 см, равный диаметру линзы),
• (f) — фокусное расстояние линзы (20 см),
• (d) — расстояние от линзы до объекта (30 см).

Сначала находим увеличенное изображение:

[ \frac{h'}{3} = \frac{20}{20 - 30} = \frac{20}{-10} = -2 ]

Следовательно, (h' = -6) см (отрицательный знак указывает на перевернутое изображение).

Теперь, чтобы найти диаметр пятна на экране, нужно учесть, что диаметр пятна будет равен диаметру линзы, умноженному на модуль увеличения:

[ D = |h'| = 6 \text{ см} ]

Таким образом, на экране диаметр пятна будет равен 6 см.

Давайте разберем задачу подробно.

Условие задачи

• Фокусное расстояние линзы ( f = 20 \, \text{см} ).
• Светящаяся точка находится на расстоянии ( d = 30 \, \text{см} ) перед линзой.
• Диаметр линзы ( D = 3 \, \text{см} ).
• Экран расположен в фокальной плоскости линзы.

Необходимо определить диаметр пятна на экране.

Решение

1. Определим положение изображения

Для линзы справедлива формула тонкой линзы:

[ \frac{1}{f} = \frac{1}{d} + \frac{1}{d'} ]

где:

• ( f ) — фокусное расстояние,
• ( d ) — расстояние от предмета до линзы,
• ( d' ) — расстояние от линзы до изображения.

Подставим известные значения: [ \frac{1}{20} = \frac{1}{30} + \frac{1}{d'} ]

Вычислим: [ \frac{1}{d'} = \frac{1}{20} - \frac{1}{30} ]

Приведем дроби к общему знаменателю: [ \frac{1}{d'} = \frac{3}{60} - \frac{2}{60} = \frac{1}{60} ]

Следовательно: [ d' = 60 \, \text{см}. ]

Изображение светящейся точки формируется на расстоянии ( d' = 60 \, \text{см} ) от линзы.

2. Условие расположения экрана

Экран, по условию задачи, находится не в плоскости изображения (где ( d' = 60 \, \text{см} )), а в фокальной плоскости линзы, то есть на расстоянии ( f = 20 \, \text{см} ) от линзы. Это приводит к дефокусировке изображения: вместо светящейся точки на экране образуется пятно.

3. Геометрическая природа пятна

Диаметр пятна на экране определяется размерами линзы и углом расхождения световых лучей. Светящаяся точка, расположенная вне главного фокуса линзы, дает расходящиеся пучки света, которые пересекают края линзы и падают на экран. Рассмотрим этот процесс подробнее.

Пусть светящаяся точка ( S ) излучает свет, который проходит через края линзы. Лучи, проходящие через края линзы, формируют конус света, который пересекает фокальную плоскость, образуя пятно.

Шаг 1: Угловая апертура линзы

Рассчитаем угловую апертуру линзы — угол, под которым края линзы видны из точки ( S ). Обозначим этот угол за ( \theta ).

Радиус линзы: [ R = \frac{D}{2} = \frac{3}{2} = 1.5 \, \text{см}. ]

Расстояние от светящейся точки до линзы: [ d = 30 \, \text{см}. ]

Тогда угловая апертура линзы: [ \theta = \arctan{\frac{R}{d}}. ]

Подставим значения: [ \theta = \arctan{\frac{1.5}{30}}. ]

Так как ( \frac{1.5}{30} = 0.05 ), то при малых углах можно использовать приближение ( \tan{\theta} \approx \theta ) (в радианах). Тогда: [ \theta \approx 0.05 \, \text{рад}. ]

Шаг 2: Диаметр пятна на экране

Теперь найдем диаметр пятна на экране. Световые лучи, исходящие из точки ( S ), расходятся под углом ( 2\theta ) (полный угол, так как лучи идут в обе стороны от оси). Экран находится на расстоянии ( f = 20 \, \text{см} ) от линзы. Диаметр пятна ( d_{\text{пятна}} ) можно найти как:

[ d_{\text{пятна}} = 2 \cdot f \cdot \tan{\theta}. ]

При малых углах ( \tan{\theta} \approx \theta ), поэтому: [ d_{\text{пятна}} \approx 2 \cdot f \cdot \theta. ]

Подставим значения: [ d_{\text{пятна}} \approx 2 \cdot 20 \cdot 0.05 = 2 \, \text{см}. ]

Ответ:

Диаметр пятна на экране составляет ( \mathbf{2 \, \text{см}} ).