Найдите площадь трапеции, основания которой равны 5 см и 15 см, а боковые стороны- 9 см и 17 см.

Для нахождения площади трапеции, основание которой равны 5 см и 15 см, а боковые стороны — 9 см и 17 см, можно использовать формулу, основанную на значениях оснований и высоты. Однако, в данной ситуации мы не знаем высоту трапеции напрямую, поэтому сначала найдем её с помощью теоремы о высоте трапеции.

Сначала обозначим:

• ( a = 5 ) см (меньшее основание),
• ( b = 15 ) см (большее основание),
• ( c = 9 ) см (одна из боковых сторон),
• ( d = 17 ) см (другая боковая сторона).

1. Определение высоты трапеции: Для этого можно воспользоваться формулой, основанной на длинах оснований и боковых сторон, которая включает в себя квадрат корня из разности квадратов длин боковых сторон. Мы можем использовать формулу площади трапеции через длины оснований и высоту:

   [ S = \frac{(a + b)}{2} \cdot h ]

   где ( S ) — площадь, ( h ) — высота.

   Чтобы найти высоту, можно применить метод с использованием отделения треугольников. Для этого найдем высоту, проведя перпендикуляры из концов меньшего основания к большему.

   Обозначим расстояние от одного конца меньшего основания до точки, где перпендикуляр пересекает большее основание, как ( x ). Тогда расстояние от другого конца меньшего основания будет ( 15 - x ).

   Мы можем применить теорему Пифагора для двух треугольников, образованных боковыми сторонами и высотой:

   [ h^2 + x^2 = c^2 ] [ h^2 + (15 - x)^2 = d^2 ]

   Подставим значения:

   1. ( h^2 + x^2 = 9^2 ) (1)
   2. ( h^2 + (15 - x)^2 = 17^2 ) (2)

   Раскроем второе уравнение:

   [ h^2 + (15^2 - 30x + x^2) = 289 ] [ h^2 + 225 - 30x + x^2 = 289 ] [ h^2 + x^2 - 30x + 225 - 289 = 0 ] [ h^2 + x^2 - 30x - 64 = 0 ]

   Теперь у нас есть два уравнения:

   Из уравнения (1):

   [ h^2 = 81 - x^2 ]

   Подставляем это значение в уравнение (2):

   [ 81 - x^2 + x^2 - 30x - 64 = 0 ] [ 81 - 64 - 30x = 0 ] [ 30x = 17 ] [ x = \frac{17}{30} ]

   Теперь подставим значение ( x ) обратно, чтобы найти ( h ):

   [ h^2 = 81 - \left(\frac{17}{30}\right)^2 ]

   Посчитаем ( \left(\frac{17}{30}\right)^2 ):

   [ \left(\frac{17}{30}\right)^2 = \frac{289}{900} ]

   Тогда:

   [ h^2 = 81 - \frac{289}{900} = \frac{72900 - 289}{900} = \frac{72611}{900} ]

   Теперь находим ( h ):

   [ h = \sqrt{\frac{72611}{900}} \approx \frac{269.4}{30} \approx 8.98 \text{ см} ]

2. Подсчет площади: Теперь мы можем использовать эту высоту для вычисления площади:

   [ S = \frac{(5 + 15)}{2} \cdot h ] [ S = \frac{20}{2} \cdot 8.98 = 10 \cdot 8.98 \approx 89.8 \text{ см}^2 ]

Таким образом, площадь трапеции составляет примерно 89.8 см².

Для решения задачи находим площадь трапеции с заданными параметрами. Площадь трапеции можно вычислить разными способами. В данном случае используем формулу площади через основания и высоту, но сначала найдем высоту.

Дано:

• Основания трапеции: ( a = 15 \, \text{см}, \, b = 5 \, \text{см} ),
• Боковые стороны: ( c = 9 \, \text{см}, \, d = 17 \, \text{см} ).

Шаг 1. Формула площади трапеции

Площадь трапеции вычисляется по формуле: [ S = \frac{1}{2} (a + b) \cdot h, ] где ( a ) и ( b ) — основания трапеции, а ( h ) — высота (расстояние между основаниями).

Для использования данной формулы нам нужно сначала найти высоту ( h ).

Шаг 2. Условие существования трапеции

Сначала проверим, можем ли построить такую трапецию с заданными сторонами. У трапеции сумма длин двух боковых сторон должна быть больше разности длин оснований. Проверим: [ c + d = 9 + 17 = 26 > |a - b| = |15 - 5| = 10. ] Условие выполняется, значит, такая трапеция существует.

Шаг 3. Найдем высоту ( h ) через формулу Герона

Для нахождения высоты воспользуемся тем, что трапеция состоит из двух прямоугольных треугольников и одного центрального прямоугольника, но проще воспользоваться формулой высоты через площадь и основания.

1. Находим полупериметр ( p ) трапеции: [ p = \frac{a + b + c + d}{2} = \frac{15 + 5 + 9 + 17}{2} = 23. ]

2. Формула площади трапеции через стороны: [ S = \sqrt{(p - a)(p - b)(p - c)(p - d)}. ]

Подставим значения: [ S = \sqrt{(23 - 15)(23 - 5)(23 - 9)(23 - 17)} = \sqrt{(8)(18)(14)(6)}. ]

Выполним упрощение: [ S = \sqrt{8 \cdot 18 \cdot 14 \cdot 6} = \sqrt{12096}. ]

Итак: [ S \approx 110. ]

1. Высота ( h ) выражается через площадь и основания: [ h = \frac{2S}{a + b}. ]

Подставим значения: [ h = \frac{2 \cdot 110}{15 + 5} = \frac{220}{20} = 11 \, \text{см}. ]

Шаг 4. Найдем площадь трапеции

Теперь окончательно вычислим площадь: [ S = \frac{1}{2} (a + b) \cdot h = \frac{1}{2} \cdot (15 + 5) \cdot 11 = \frac{1}{2} \cdot 20 \cdot 11 = 110 \, \text{см}^2. ]

Ответ:

Площадь трапеции равна ( 110 \, \text{см}^2 ).