Небольшое тело массой m = 0,5 кг висит на невесомой нерастяжимой нити длиной l = 40 см, касаясь бруска массой M = 1,5 кг, покоящегося на шероховатой горизонтальной поверхности. Тело отвели в сторону так, что нить образовала угол α = 60° с вертикалью, и отпустили. Чему равен коэффициент трения скольжения между бруском и поверхностью, если в результате абсолютно упругого удара брусок сместился на расстояние s = 20 см?
Для решения задачи необходимо проанализировать систему, состоящую из тела, висящего на нити, и бруска, который находится на горизонтальной поверхности. Рассмотрим основные этапы решения:
Тело массой ( m = 0.5 ) кг подвешено на нити длиной ( l = 0.4 ) м и образует угол ( \alpha = 60^\circ ) с вертикалью. При отпускании тела оно начинает свободное падение, в результате которого передает импульс бруску.
Когда тело отпускается, оно падает под действием силы тяжести. Начальная высота ( h ) тела, когда оно отклонено на угол ( \alpha ), может быть найдена по формуле: [ h = l - l \cos(\alpha) = l(1 - \cos(\alpha)) = 0.4 \, \text{м} (1 - \cos(60^\circ)) = 0.4 \, \text{м} \cdot \frac{1}{2} = 0.2 \, \text{м}. ]
Теперь применим закон сохранения энергии. Потенциальная энергия, потерянная телом при падении, преобразуется в кинетическую энергию: [ mgh = \frac{1}{2} mv^2, ] где ( g ) — ускорение свободного падения (приблизительно ( 9.81 \, \text{м/с}^2 )).
Подставим значения: [ 0.5 \cdot 9.81 \cdot 0.2 = \frac{1}{2} \cdot 0.5 \cdot v^2. ] Упрощая, получаем: [ 0.981 = 0.25 v^2 \quad \Rightarrow \quad v^2 = \frac{0.981}{0.25} = 3.924 \quad \Rightarrow \quad v \approx 1.98 \, \text{м/с}. ]
При абсолютно упругом ударе, скорость бруска ( V ) после столкновения можно найти из закона сохранения импульса: [ mv = (M + m)V, ] где ( V ) — скорость бруска после удара.
Подставляем значения: [ 0.5 \cdot 1.98 = (1.5 + 0.5)V \quad \Rightarrow \quad 0.99 = 2V \quad \Rightarrow \quad V = 0.495 \, \text{м/с}. ]
Теперь, когда брусок начинает двигаться, на него действует сила трения, которая замедляет его движение. Сила трения ( F_t ) равна: [ F_t = \mu N, ] где ( \mu ) — коэффициент трения, а ( N ) — нормальная сила, равная весу бруска: [ N = Mg = 1.5 \cdot 9.81 \approx 14.715 \, \text{Н}. ]
Сила, действующая на брусок в момент удара, равна: [ F = Ma, ] где ( a ) — ускорение бруска, которое можно найти из кинематики. Мы знаем, что брусок сместился на ( s = 0.2 ) м с начальной скоростью ( V = 0.495 ) м/с.
Используя уравнение движения с постоянным ускорением: [ s = Vt + \frac{1}{2}at^2. ] Время ( t ) можно оценить, используя ( V ) и ( a ): [ s = 0.2 = 0.495t + \frac{1}{2}at^2. ]
С учетом того, что брусок останавливается, конечная скорость ( V_f = 0 ): [ V_f = V + at \quad \Rightarrow \quad 0 = 0.495 - at \quad \Rightarrow \quad at = 0.495. ] Таким образом, ( a = \frac{0.495}{t} ).
Подставим ( a ) в уравнение движения: [ 0.2 = 0.495t + \frac{1}{2} \frac{0.495}{t} t^2 \quad \Rightarrow \quad 0.2 = 0.495t + 0.2475t. ] Сложив, получаем: [ 0.2 = 0.7425t \quad \Rightarrow \quad t \approx 0.269 \, \text{с}. ]
Теперь найдем ускорение: [ a = \frac{0.495}{0.269} \approx 1.84 \, \text{м/с}^2. ]
Теперь можно найти силу трения: [ F_t = Ma = 1.5 \cdot 1.84 \approx 2.76 \, \text{Н}. ]
Итак, приравняем силу трения к ( \mu N ): [ \mu N = 2.76 \quad \Rightarrow \quad \mu \cdot 14.715 = 2.76 \quad \Rightarrow \quad \mu = \frac{2.76}{14.715} \approx 0.187. ]
Коэффициент трения скольжения между бруском и поверхностью равен приблизительно ( \mu \approx 0.187 ).
Для решения этой задачи воспользуемся законом сохранения импульса и формулами для силы трения.
Определим скорость тела m в момент удара. Высота h, на которую тело опускается, составляет: [ h = l - l \cos(\alpha) = l(1 - \cos(\alpha)) = 0.4 \, \text{м} \cdot (1 - \cos(60^\circ)) = 0.4 \cdot 0.5 = 0.2 \, \text{м}. ] Используя закон сохранения энергии, найдем скорость v тела m перед ударом: [ mgh = \frac{1}{2} mv^2 \implies v = \sqrt{2gh} = \sqrt{2 \cdot 9.81 \cdot 0.2} \approx 1.98 \, \text{м/с}. ]
Теперь найдем скорость бруска M после абсолютно упругого удара. Используем закон сохранения импульса: [ mv = mv' + MV \implies 0.5 \cdot 1.98 = 0.5 v' + 1.5 V. ] Также используем закон сохранения энергии: [ \frac{1}{2} mv^2 = \frac{1}{2} mv'^2 + \frac{1}{2} MV^2. ] Подставим известные значения и решим систему уравнений для v' и V.
Определим силу трения, действующую на брусок: [ F_{\text{тр}} = \mu M g, ] где (\mu) — коэффициент трения, а (g) — ускорение свободного падения.
Сравним силу трения с изменением импульса бруска и временем, за которое он перемещается на расстояние s. Если b — время контакта, то: [ F_{\text{тр}} = M \cdot a, ] где a — ускорение бруска.
Учитывая, что брусок сместился на 20 см, можно использовать уравнение движения: [ s = \frac{1}{2} a t^2, ] чтобы выразить a через s и t и затем подставить в уравнение для силы трения.
Решив полученные уравнения, можно найти значение коэффициента трения (\mu). Для данной задачи у вас получится коэффициент трения приблизительно равный 0.2.
Давайте разберём задачу поэтапно, чтобы детально понять её решение.
Наша задача — найти коэффициент трения ( \mu ) между бруском и поверхностью.
Тело, подвешенное на нити, обладает потенциальной энергией в начальной точке (при отклонении на угол ( \alpha )) и преобразует её в кинетическую энергию при движении вниз. Потенциальная энергия определяется высотой подъёма относительно нижней точки.
Высота подъёма ( h ) определяется геометрией задачи: [ h = l (1 - \cos\alpha). ] Подставим значения: [ h = 0.4 (1 - \cos 60^\circ) = 0.4 (1 - 0.5) = 0.4 \cdot 0.5 = 0.2 \, \text{м}. ]
Итак, потенциальная энергия тела в начальной точке: [ E_p = m g h, ] где ( g = 9.8 \, \text{м/с}^2 ). Подставим значения: [ E_p = 0.5 \cdot 9.8 \cdot 0.2 = 0.98 \, \text{Дж}. ]
В нижней точке вся эта энергия преобразуется в кинетическую энергию: [ E_k = \frac{1}{2} m v_1^2, ] где ( v_1 ) — скорость тела перед ударом. Приравниваем ( E_p ) и ( E_k ): [ 0.98 = \frac{1}{2} \cdot 0.5 \cdot v_1^2. ] Упростим и найдём ( v_1^2 ): [ 0.98 = 0.25 \cdot v_1^2 \quad \Rightarrow \quad v_1^2 = \frac{0.98}{0.25} = 3.92. ] [ v_1 = \sqrt{3.92} \approx 1.98 \, \text{м/с}. ]
При абсолютно упругом ударе выполняются два закона:
Закон сохранения импульса: [ m v_1 = m v_1' + M v_2, ] где ( v_1' ) — скорость тела ( m ) после удара, а ( v_2 ) — скорость бруска ( M ) после удара.
Закон сохранения кинетической энергии: [ \frac{1}{2} m v_1^2 = \frac{1}{2} m v_1'^2 + \frac{1}{2} M v_2^2. ]
Эти уравнения позволяют выразить скорости ( v_1' ) и ( v_2 ) через известные параметры. Для абсолютно упругого центрального удара между двумя телами выводятся формулы: [ v_1' = \frac{m - M}{m + M} v_1, \quad v_2 = \frac{2m}{m + M} v_1. ]
Подставим значения ( m = 0.5 ), ( M = 1.5 ), ( v_1 = 1.98 ): [ v_1' = \frac{0.5 - 1.5}{0.5 + 1.5} \cdot 1.98 = \frac{-1}{2} \cdot 1.98 = -0.99 \, \text{м/с}, ] [ v_2 = \frac{2 \cdot 0.5}{0.5 + 1.5} \cdot 1.98 = \frac{1}{2} \cdot 1.98 = 0.99 \, \text{м/с}. ]
Таким образом, брусок после удара получает скорость ( v_2 = 0.99 \, \text{м/с} ).
После удара брусок движется по горизонтальной поверхности, замедляясь из-за силы трения. Пройденное расстояние ( s = 0.2 \, \text{м} ) связано с начальными условиями движения.
Сила трения: [ F_\text{тр} = \mu M g. ]
Уравнение движения бруска по второму закону Ньютона: [ M a = -\mu M g \quad \Rightarrow \quad a = -\mu g. ]
Связь между ускорением, скоростью и расстоянием: [ v_2^2 = 2 a s. ] Подставим ( a = -\mu g ): [ v_2^2 = -2 \mu g s. ]
Найдём ( \mu ): [ \mu = -\frac{v_2^2}{2 g s}. ]
Подставим известные значения: ( v_2 = 0.99 \, \text{м/с} ), ( g = 9.8 \, \text{м/с}^2 ), ( s = 0.2 \, \text{м} ): [ \mu = -\frac{(0.99)^2}{2 \cdot 9.8 \cdot 0.2}. ] [ \mu = -\frac{0.9801}{3.92} \approx 0.25. ]
Коэффициент трения скольжения между бруском и поверхностью равен ( \mu \approx 0.25 ).
