Однородный шар скатывается без скольжения по наклонной плоскости, составляющей угол a с горизонтом. Haйти ускорение центра масс шара и значение коэффициента трения, при котором скольжения не будет.
Однородный шар скатывается без скольжения по наклонной плоскости, составляющей угол a с горизонтом. Haйти ускорение центра масс шара и значение коэффициента трения, при котором скольжения не будет.
Рассмотрим задачу о шаре, скатывающемся без скольжения по наклонной плоскости с углом наклона ( \alpha ). При таком движении на шар действуют три силы: сила тяжести ( mg ), нормальная реакция опоры ( N ) и сила трения ( f ).
Ускорение центра масс шара
Уравнение движения шара по наклонной плоскости в проекции на ось, направленную вдоль склона, можно записать как: [ mg \sin \alpha - f = ma, ] где ( a ) — ускорение центра масс шара, ( m ) — масса шара.
Уравнение вращательного движения
Так как шар катится без скольжения, то точка шара, находящаяся в контакте с плоскостью, имеет нулевую скорость относительно плоскости. Это означает, что линейная скорость центра масс ( v ) связана с угловой скоростью ( \omega ) соотношением: [ v = \omega R, ] где ( R ) — радиус шара. Уравнение вращательного движения для шара: [ \tau = I \alpha{\text{угл}}, ] где ( \tau = fR ) — момент силы трения, ( I ) — момент инерции шара, ( \alpha{\text{угл}} ) — угловое ускорение. Момент инерции однородного шара равен ( I = \frac{2}{5}mR^2 ). Угловое ускорение связано с линейным ускорением ( a ) через ( \alpha_{\text{угл}} = \frac{a}{R} ). Таким образом, уравнение вращения принимает вид: [ fR = \frac{2}{5}mR^2 \cdot \frac{a}{R}. ] Отсюда [ f = \frac{2}{5}ma. ]
Подставим найденное значение ( f ) в уравнение движения
[ mg \sin \alpha - \frac{2}{5}ma = ma, ] [ a = \frac{5}{7}g \sin \alpha. ]
Коэффициент трения
Чтобы шар катился без скольжения, сила трения должна препятствовать скольжению. Минимальное значение коэффициента трения ( \mu ) можно найти из условия равенства максимальной силы трения ( f_{\text{max}} = \mu N ) силе трения, необходимой для качения без скольжения: [ \mu N = \frac{2}{5}ma, ] где ( N = mg \cos \alpha ). Тогда [ \mu = \frac{\frac{2}{5}ma}{mg \cos \alpha} = \frac{2}{5} \frac{a}{g \cos \alpha} = \frac{2}{5} \frac{\frac{5}{7}g \sin \alpha}{g \cos \alpha} = \frac{2}{7} \tan \alpha. ]
Таким образом, ускорение центра масс шара ( a = \frac{5}{7}g \sin \alpha ), а коэффициент трения, при котором скольжения не будет, равен ( \mu = \frac{2}{7} \tan \alpha ).
Ускорение центра масс шара равно g*sin(a), где g - ускорение свободного падения. Чтобы избежать скольжения, коэффициент трения должен быть не менее tg(a).
Для нахождения ускорения центра масс шара, можно воспользоваться вторым законом Ньютона: сила трения, действующая по направлению вверх по наклонной плоскости, равна произведению массы шара на ускорение центра масс. Эта сила трения равна произведению массы шара на ускорение свободного падения (g) умноженное на синус угла наклона плоскости (a). Таким образом, ускорение центра масс шара равно g * sin(a).
Чтобы определить значение коэффициента трения, при котором скольжения не будет, можно воспользоваться условием равновесия моментов сил относительно центра масс шара. Сила трения должна быть равна произведению массы шара на ускорение центра масс (g sin(a)), умноженное на коэффициент трения (μ). Решив уравнение Fтрения = m a, мы найдем значение коэффициента трения μ, при котором скольжения не будет.
Таким образом, ускорение центра масс шара равно g sin(a), а значение коэффициента трения μ можно найти, решив уравнение Fтрения = m a.
