Определить момент инерции стержня длиной 2 м и массой 3 кг относительно оси, проходящей через точку,...

Момент инерции стержня относительно оси, проходящей через точку, отстоящую от центра масс на расстоянии, равном 1/4 длины стержня, можно найти, используя формулу для момента инерции относительно произвольной оси, параллельной оси, проходящей через центр масс:

I = I_cm + md^2,

где I_cm - момент инерции относительно оси, проходящей через центр масс, m - масса стержня, d - расстояние от новой оси до центра масс.

Для начала найдем момент инерции стержня относительно оси, проходящей через центр масс. Для стержня длиной L и массой m момент инерции относительно оси, проходящей через один из концов, равен mL^2/3. Так как у нас стержень длиной 2 м и массой 3 кг, то момент инерции относительно оси, проходящей через центр масс, будет равен:

I_cm = (3 2^2) / 3 = 4 кгм^2.

Теперь найдем расстояние d от новой оси до центра масс. По условию d = 1/4 * 2 = 0.5 м.

Подставим все значения в формулу:

I = 4 + 3 0.5^2 = 4 + 3 0.25 = 4 + 0.75 = 4.75 кг*м^2.

Итак, момент инерции стержня длиной 2 м и массой 3 кг относительно оси, проходящей через точку, отстоящую от центра масс на расстоянии 1/4 длины стержня, равен 4.75 кг*м^2.

Для решения этой задачи можно использовать теорему Штейнера (или параллельных осей), которая связывает момент инерции тела относительно любой оси с моментом инерции относительно оси, проходящей через центр масс тела. Теорема Штейнера гласит:

[ I = I_{\text{cm}} + Md^2 ]

где:

• ( I ) — момент инерции относительно данной оси,
• ( I_{\text{cm}} ) — момент инерции относительно оси, проходящей через центр масс,
• ( M ) — масса стержня,
• ( d ) — расстояние от оси, проходящей через центр масс, до новой оси.

Для стержня момент инерции относительно оси, проходящей через центр масс и перпендикулярной к стержню, рассчитывается по формуле:

[ I_{\text{cm}} = \frac{1}{12}ML^2 ]

где ( L ) — длина стержня.

В данном случае:

• ( L = 2 ) м,
• ( M = 3 ) кг,
• ( d = \frac{1}{4}L = \frac{1}{4} \times 2 = 0.5 ) м.

Подставляя значения в формулу для ( I_{\text{cm}} ):

[ I_{\text{cm}} = \frac{1}{12} \times 3 \times (2^2) = \frac{1}{12} \times 3 \times 4 = 1 \text{ кг}\cdot\text{м}^2 ]

Теперь используем теорему Штейнера для расчета ( I ):

[ I = 1 \text{ кг}\cdot\text{м}^2 + 3 \text{ кг} \times (0.5 \text{ м})^2 = 1 + 3 \times 0.25 = 1 + 0.75 = 1.75 \text{ кг}\cdot\text{м}^2 ]

Таким образом, момент инерции стержня относительно оси, проходящей через точку, отстоящую от центра масс на расстоянии, равном 1/4 длины стержня, составляет 1.75 кг·м².