Определите КПД цикла Карно, если температуры нагревателя и холодильника соответственно равны 200 и 15°С....

Цикл Карно — это идеализированный термодинамический цикл, который служит эталоном для оценки эффективности тепловых машин. Коэффициент полезного действия (КПД) цикла Карно определяется по формуле:

[ \eta = 1 - \frac{T_c}{T_h} ]

где:

• (\eta) — КПД,
• (T_h) — абсолютная температура нагревателя,
• (T_c) — абсолютная температура холодильника.

Температуры следует переводить в Кельвины. Для данного примера:

• Температура нагревателя (T_h = 200°С = 200 + 273 = 473 \, K),
• Температура холодильника (T_c = 15°С = 15 + 273 = 288 \, K).

Теперь подставим эти значения в формулу для расчета КПД:

[ \eta = 1 - \frac{288}{473} \approx 1 - 0.609 = 0.391 ]

Таким образом, КПД цикла Карно при данных температурах составляет примерно 39.1%.

Теперь рассмотрим, насколько необходимо повысить температуру нагревателя, чтобы КПД увеличился вдвое. Если КПД увеличивается вдвое, то новое значение КПД будет:

[ \eta' = 2 \cdot \eta = 2 \cdot 0.391 \approx 0.782 ]

Теперь подставим это новое значение в формулу для КПД:

[ 0.782 = 1 - \frac{T_c}{T_h'} ]

где (T_h') — новая температура нагревателя. Перепишем уравнение, чтобы выразить (T_h'):

[ \frac{T_c}{T_h'} = 1 - 0.782 = 0.218 ]

Теперь найдем (T_h'):

[ T_h' = \frac{T_c}{0.218} = \frac{288}{0.218} \approx 1321.1 \, K ]

Теперь преобразуем обратно в градусы Цельсия:

[ T_h' = 1321.1 \, K - 273 \approx 1048.1 \, °C ]

Теперь найдем, на сколько нужно повысить температуру нагревателя:

[ \Delta T = T_h' - T_h = 1048.1 - 200 \approx 848.1 \, °C ]

Таким образом, для того чтобы КПД цикла Карно увеличился вдвое, температуру нагревателя необходимо повысить примерно на 848.1 °C.

Для решения задачи используем формулу для коэффициента полезного действия (КПД) цикла Карно:

[ \eta = 1 - \frac{T_2}{T_1}, ]

где:

• ( \eta ) — КПД цикла Карно,
• ( T_1 ) — абсолютная температура нагревателя (в Кельвинах),
• ( T_2 ) — абсолютная температура холодильника (в Кельвинах).

Шаг 1: Переведём температуры в Кельвины

Чтобы использовать формулы термодинамики, температуры должны быть выражены в абсолютной шкале (Кельвины). Переход к Кельвинам осуществляется по формуле:

[ T = t + 273, ]

где ( t ) — температура в градусах Цельсия.

Для нагревателя: [ T_1 = 200 + 273 = 473 \, \text{К}. ]

Для холодильника: [ T_2 = 15 + 273 = 288 \, \text{К}. ]

Шаг 2: Вычислим КПД цикла при заданных температурах

Подставим значения ( T_1 ) и ( T_2 ) в формулу КПД:

[ \eta = 1 - \frac{T_2}{T_1} = 1 - \frac{288}{473}. ]

Выполним вычисление:

[ \frac{288}{473} \approx 0.609. ]

Следовательно:

[ \eta \approx 1 - 0.609 = 0.391 \, \text{или} \, 39.1\%. ]

Шаг 3: Найдём новую температуру нагревателя для удвоения КПД

Если КПД должен увеличиться вдвое, то новый КПД (( \eta' )) будет равен:

[ \eta' = 2 \cdot \eta = 2 \cdot 0.391 = 0.782 \, \text{или} \, 78.2\%. ]

Подставим это значение в формулу для КПД, чтобы найти новое значение температуры нагревателя (( T_1' )):

[ \eta' = 1 - \frac{T_2}{T_1'}. ]

Выразим ( T_1' ):

[ \frac{T_2}{T_1'} = 1 - \eta', ]

[ T_1' = \frac{T_2}{1 - \eta'}. ]

Подставим известные значения (( T_2 = 288 \, \text{К} ) и ( \eta' = 0.782 )):

[ T_1' = \frac{288}{1 - 0.782}. ]

Выполним вычисления:

[ 1 - 0.782 = 0.218, ]

[ T_1' = \frac{288}{0.218} \approx 1321 \, \text{К}. ]

Шаг 4: Найдём, на сколько нужно повысить температуру нагревателя

Изначальная температура нагревателя ( T_1 = 473 \, \text{К} ). Разность температур составит:

[ \Delta T = T_1' - T_1 = 1321 - 473 = 848 \, \text{К}. ]

Ответ:

1. КПД цикла Карно при начальных температурах составляет 39.1%.
2. Чтобы КПД увеличился вдвое, температуру нагревателя нужно повысить на 848 К, что соответствует температуре 1321 К.

КПД цикла Карно можно вычислить по формуле:

[ \eta = 1 - \frac{T{\text{хол}}}{T{\text{наг}}} ]

где температуры должны быть в Кельвинах. Температуры нагревателя и холодильника в Кельвинах равны:

[ T{\text{наг}} = 200 + 273.15 = 473.15 \, \text{К} ] [ T{\text{хол}} = 15 + 273.15 = 288.15 \, \text{К} ]

Теперь подставим эти значения в формулу КПД:

[ \eta = 1 - \frac{288.15}{473.15} \approx 0.390 ]

Чтобы КПД увеличился вдвое, новый КПД должен быть:

[ \eta_{\text{нов}} = 2 \cdot 0.390 = 0.780 ]

Используем ту же формулу для нового КПД:

[ 0.780 = 1 - \frac{288.15}{T_{\text{наг, нов}}} ]

Решим это уравнение для (T_{\text{наг, нов}}):

[ \frac{288.15}{T{\text{наг, нов}}} = 1 - 0.780 = 0.220 ] [ T{\text{наг, нов}} = \frac{288.15}{0.220} \approx 1313.41 \, \text{К} ]

Теперь найдем, на сколько нужно повысить температуру нагревателя:

[ \Delta T = T{\text{наг, нов}} - T{\text{наг}} = 1313.41 - 473.15 \approx 840.26 \, \text{К} ]

Таким образом, температуру нагревателя нужно повысить примерно на 840.26 К.