Давайте решим задачу, используя законы кинематики.
Дано:
- Скорость автомобиля "Москвич" ( v_1 = 80 \, \text{км/ч} = 22.22 \, \text{м/с} ).
- Скорость грузовика ( v_2 = 44 \, \text{км/ч} = 12.22 \, \text{м/с} ).
- Начальное расстояние между автомобилями ( x_0 = 10 \, \text{м} ).
- Нам нужно определить минимальное отрицательное ускорение ( a ) "Москвича", чтобы избежать столкновения.
Решение:
Чтобы избежать столкновения, "Москвич" должен замедлиться так, чтобы его перемещение ( x_1(t) ) за время ( t ) (время движения до возможного столкновения) не стало меньше или равно перемещению грузовика ( x_2(t) ), с учетом начального расстояния между ними ( x_0 ).
Уравнения движения:
Для "Москвича":
[
x_1(t) = v_1 \cdot t + \frac{1}{2} a \cdot t^2,
]
где ( a ) — ускорение (будет отрицательным, так как это замедление).
Для грузовика (равномерное движение):
[
x_2(t) = v_2 \cdot t.
]
Условие отсутствия столкновения:
[
x_1(t) \geq x_2(t) + x_0.
]
Подставим выражения для ( x_1(t) ) и ( x_2(t) ) в это условие:
[
v_1 \cdot t + \frac{1}{2} a \cdot t^2 \geq v_2 \cdot t + x_0.
]
Приведем уравнение к стандартному виду:
[
\frac{1}{2} a \cdot t^2 + (v_1 - v_2) \cdot t - x_0 \geq 0.
]
Подставим известные значения:
- ( v_1 - v_2 = 22.22 - 12.22 = 10 \, \text{м/с} ),
- ( x_0 = 10 \, \text{м} ).
Получаем:
[
\frac{1}{2} a \cdot t^2 + 10 \cdot t - 10 \geq 0.
]
Решение неравенства:
Сначала найдем ( t ) (время до возможного столкновения) из уравнения, при котором расстояния становятся равными. Для этого приравняем ( x_1(t) = x_2(t) + x_0 ):
[
\frac{1}{2} a \cdot t^2 + 10 \cdot t - 10 = 0.
]
Это квадратное уравнение относительно ( t ). Решим его через дискриминант:
[
D = b^2 - 4ac,
]
где ( a = \frac{1}{2} a ), ( b = 10 ), ( c = -10 ).
Подставляя значения, решаем уравнение и находим ( a ), чтобы избежать столкновения.