Платформа в виде диска радиусом 1 м вращается по инерции с частотой 6 об/мин. На краю платформы стоит человек, масса которого 80 кг. Какую работу совершит человек, перейдя с края в центр платформы? Масса платформы 240 кг. Момент инерции человека рассчитывать как для материальной точки.
Для решения задачи определим, как изменяется кинетическая энергия системы "платформа + человек", когда человек переходит с края платформы в её центр.
Определим момент инерции системы для начального положения человека на краю платформы.
Момент инерции платформы (однородного диска): [ I_{\text{платформы}} = \frac{1}{2} M R^2 = \frac{1}{2} \cdot 240 \cdot 1^2 = 120 \, \text{кг} \cdot \text{м}^2. ]
Момент инерции человека, находящегося на краю платформы: [ I_{\text{человека}} = m R^2 = 80 \cdot 1^2 = 80 \, \text{кг} \cdot \text{м}^2. ]
Общий момент инерции системы в начальном положении: [ I1 = I{\text{платформы}} + I_{\text{человека}} = 120 + 80 = 200 \, \text{кг} \cdot \text{м}^2. ]
Определим момент инерции системы, когда человек находится в центре платформы.
В центре платформы расстояние человека до оси вращения равно нулю, поэтому его момент инерции становится равным нулю: [ I_{\text{человека}} = 0. ]
Общий момент инерции системы во втором положении: [ I2 = I{\text{платформы}} = 120 \, \text{кг} \cdot \text{м}^2. ]
Используем закон сохранения момента импульса.
Согласно закону сохранения момента импульса, в отсутствие внешних моментов сумма моментов импульса остаётся постоянной: [ I_1 \omega_1 = I_2 \omega_2, ] где ( \omega_1 ) и ( \omega_2 ) — угловые скорости платформы до и после движения человека.
Подставим значения: [ 200 \cdot \frac{\pi}{5} = 120 \cdot \omega_2. ]
Выразим ( \omega_2 ): [ \omega_2 = \frac{200 \cdot \frac{\pi}{5}}{120} = \frac{200 \pi}{600} = \frac{\pi}{3} \, \text{рад/с}. ]
Рассчитаем кинетическую энергию системы до и после движения человека.
Кинетическая энергия вращательного движения системы определяется формулой: [ E = \frac{1}{2} I \omega^2. ]
До перехода человека (начальное состояние): [ E_1 = \frac{1}{2} I_1 \omega_1^2 = \frac{1}{2} \cdot 200 \cdot \left( \frac{\pi}{5} \right)^2 = 100 \cdot \frac{\pi^2}{25} = \frac{4\pi^2}{1} \, \text{Дж}. ]
После перехода человека (конечное состояние): [ E_2 = \frac{1}{2} I_2 \omega_2^2 = \frac{1}{2} \cdot 120 \cdot \left( \frac{\pi}{3} \right)^2 = 60 \cdot \frac{\pi^2}{9} = \frac{20\pi^2}{3} \, \text{Дж}. ]
Найдём изменение кинетической энергии системы.
Работа, совершаемая человеком, равна изменению кинетической энергии системы: [ A = E_2 - E_1. ]
Подставим значения: [ A = \frac{20\pi^2}{3} - 4\pi^2 = \frac{20\pi^2}{3} - \frac{12\pi^2}{3} = \frac{8\pi^2}{3} \, \text{Дж}. ]
Численное значение: Приближённо возьмём ( \pi^2 \approx 9.87 ): [ A = \frac{8 \cdot 9.87}{3} \approx \frac{78.96}{3} \approx 26.32 \, \text{Дж}. ]
Человек совершит работу, равную приблизительно ( 26.32 \, \text{Дж} ), переходя с края платформы в её центр.
Чтобы найти работу, совершенную человеком при переходе с края в центр платформы, нужно рассмотреть изменение момента инерции системы и кинетической энергии.
Исходные данные:
Скорость углового вращения: [ \omega = 2\pi n = 2\pi \cdot 0.1 = \frac{1}{5} \pi \, \text{рад/с} ]
Момент инерции платформы: Момент инерции платформы (диск) рассчитывается как: [ I_{\text{платф}} = \frac{1}{2} M R^2 = \frac{1}{2} \cdot 240 \cdot 1^2 = 120 \, \text{кг} \cdot \text{м}^2 ]
Момент инерции человека на краю: [ I_{\text{человек, край}} = m R^2 = 80 \cdot 1^2 = 80 \, \text{кг} \cdot \text{м}^2 ]
Общий момент инерции системы на краю: [ I{\text{нач}} = I{\text{платф}} + I_{\text{человек, край}} = 120 + 80 = 200 \, \text{кг} \cdot \text{м}^2 ]
Кинетическая энергия системы на краю: [ K{\text{нач}} = \frac{1}{2} I{\text{нач}} \omega^2 = \frac{1}{2} \cdot 200 \cdot \left(\frac{1}{5} \pi\right)^2 = 5 \pi^2 \, \text{Дж} ]
Момент инерции человека в центре: [ I_{\text{человек, центр}} = 0 ]
Общий момент инерции системы в центре: [ I{\text{конц}} = I{\text{платф}} = 120 \, \text{кг} \cdot \text{м}^2 ]
Кинетическая энергия системы в центре: Сохраняя момент импульса: [ I{\text{нач}} \omega{\text{нач}} = I{\text{конц}} \omega{\text{конц}} ] [ 200 \cdot \frac{1}{5} \pi = 120 \omega{\text{конц}} \implies \omega{\text{конц}} = \frac{200 \cdot \frac{1}{5} \pi}{120} = \frac{5 \pi}{3} \, \text{рад/с} ] [ K{\text{конц}} = \frac{1}{2} I{\text{конц}} \omega_{\text{конц}}^2 = \frac{1}{2} \cdot 120 \cdot \left(\frac{5 \pi}{3}\right)^2 = \frac{120 \cdot 25 \pi^2}{18} = \frac{2000 \pi^2}{9} \, \text{Дж} ]
Работа, совершенная человеком: [ A = K{\text{конц}} - K{\text{нач}} = \frac{2000 \pi^2}{9} - 5 \pi^2 = \frac{2000 \pi^2}{9} - \frac{45 \pi^2}{9} = \frac{1955 \pi^2}{9} \, \text{Дж} ]
Таким образом, работа, совершенная человеком, равна (\frac{1955 \pi^2}{9} \approx 683.75 \, \text{Дж}).
Чтобы определить работу, которую совершит человек, переходя с края платформы в центр, необходимо рассмотреть изменения в моменте инерции и угловой скорости системы "платформа + человек".
Сначала вычислим момент инерции платформы и человека в начале.
Момент инерции ( I{пл} ) диска рассчитывается по формуле: [ I{пл} = \frac{1}{2} M R^2 = \frac{1}{2} \cdot 240 \, \text{кг} \cdot (1 \, \text{м})^2 = 120 \, \text{кг} \cdot \text{м}^2 ]
Момент инерции ( I{ч} ) человека, рассматриваемого как материальная точка, равен: [ I{ч} = m R^2 = 80 \, \text{кг} \cdot (1 \, \text{м})^2 = 80 \, \text{кг} \cdot \text{м}^2 ]
[ I{нач} = I{пл} + I_{ч} = 120 \, \text{кг} \cdot \text{м}^2 + 80 \, \text{кг} \cdot \text{м}^2 = 200 \, \text{кг} \cdot \text{м}^2 ]
Угловая скорость ( \omega ) в радианах в секунду: [ \omega_{нач} = n \cdot 2\pi = 0.1 \, \text{об/с} \cdot 2\pi \approx 0.628 \, \text{рад/с} ]
Угловой момент ( L{нач} ): [ L{нач} = I{нач} \cdot \omega{нач} = 200 \, \text{кг} \cdot \text{м}^2 \cdot 0.628 \, \text{рад/с} \approx 125.6 \, \text{кг} \cdot \text{м}^2/\text{с} ]
Когда человек перемещается к центру платформы, его момент инерции становится нулевым, так как радиус ( r = 0 ). Таким образом, новый момент инерции системы ( I{конеч} ): [ I{конеч} = I{пл} + I{ч} = 120 \, \text{кг} \cdot \text{м}^2 + 0 = 120 \, \text{кг} \cdot \text{м}^2 ]
Согласно закону сохранения углового момента: [ L{нач} = L{конеч} \implies I{нач} \cdot \omega{нач} = I{конеч} \cdot \omega{конеч} ] Отсюда можно найти конечную угловую скорость ( \omega{конеч} ): [ 200 \cdot 0.628 = 120 \cdot \omega{конеч} \implies \omega_{конеч} = \frac{200 \cdot 0.628}{120} \approx 1.047 \, \text{рад/с} ]
Работа, совершенная человеком, связана с изменением кинетической энергии системы. Кинетическая энергия в начале и в конце: [ T{нач} = \frac{1}{2} I{нач} \omega{нач}^2 = \frac{1}{2} \cdot 200 \cdot (0.628)^2 \approx 39.5 \, \text{Дж} ] [ T{конеч} = \frac{1}{2} I{конеч} \omega{конеч}^2 = \frac{1}{2} \cdot 120 \cdot (1.047)^2 \approx 75.5 \, \text{Дж} ]
Работа, совершенная человеком, равна изменению кинетической энергии: [ A = T{конеч} - T{нач} = 75.5 - 39.5 = 36 \, \text{Дж} ]
Таким образом, работа, совершенная человеком, переходя с края платформы в центр, составляет примерно 36 Дж.
