Платформа в виде диска вращается вокруг вертикальной оси, совершая 14 об/мин. На краю платформы стоит...

Для решения данной задачи нам необходимо использовать законы сохранения момента импульса.

Изначально момент импульса системы (платформа + человек) равен моменту импульса после перемещения человека к центру платформы.

Момент импульса системы до перемещения человека: L1 = I1 * ω1

Где I1 - момент инерции системы до перемещения человека, ω1 - угловая скорость до перемещения человека.

Момент импульса системы после перемещения человека к центру платформы: L2 = I2 * ω2

Где I2 - момент инерции системы после перемещения человека к центру платформы, ω2 - угловая скорость после перемещения человека.

Так как момент импульса системы сохраняется, то L1 = L2, а значит I1 ω1 = I2 ω2.

Момент инерции платформы можно выразить как: I = m * R^2

Где m - масса платформы, R - радиус платформы.

Угловую скорость можно выразить через частоту вращения: ω = 2π * f

Где f - частота вращения.

Подставим все в уравнение: m1 R1^2 2π f1 = m2 R2^2 2π f2

m1 R1^2 2π 14 = (m1 + 70) R2^2 2π 25

m1 R1^2 14 = (m1 + 70) R2^2 25

m1 R1^2 14 = m1 R2^2 25 + 70 * 25

m1 R1^2 14 = m1 R1^2 (R1^2/R2^2) * 25 + 1750

m1 14 = (R1^2/R2^2) 25 * m1 + 1750

Отсюда можно выразить отношение R1^2/R2^2 и подставить в уравнение для массы платформы. Получим значение массы платформы.

Для решения данной задачи необходимо использовать закон сохранения момента импульса. Момент импульса системы до и после перемещения человека должен оставаться постоянным.

Момент импульса до перемещения человека: I1 ω1 = (m r^2 + M R^2) ω1

Момент импульса после перемещения человека: I2 ω2 = (m r^2) * ω2

Где: I1 - момент инерции платформы до перемещения человека I2 - момент инерции платформы после перемещения человека m - масса человека M - масса платформы r - радиус платформы до перемещения человека R - радиус платформы после перемещения человека ω1 - угловая скорость платформы до перемещения человека ω2 - угловая скорость платформы после перемещения человека

Подставив известные значения и решив систему уравнений, можно определить массу платформы M.

Для решения этой задачи воспользуемся законом сохранения момента импульса. Согласно этому закону, если нет внешних моментов сил, то момент импульса системы остается постоянным. В данной ситуации мы рассматриваем систему "человек + платформа", которая изолирована от внешних моментов сил.

Обозначим:

• ( I_1 ) — момент инерции системы, когда человек находится на краю платформы,
• ( I_2 ) — момент инерции системы, когда человек находится в центре платформы,
• ( \omega_1 ) — угловая скорость платформы, когда человек на краю (( \omega_1 = \frac{14 \cdot 2\pi}{60} ) рад/с),
• ( \omega_2 ) — угловая скорость платформы, когда человек в центре (( \omega_2 = \frac{25 \cdot 2\pi}{60} ) рад/с),
• ( m ) — масса человека (70 кг),
• ( M ) — масса платформы,
• ( R ) — радиус платформы.

Согласно закону сохранения момента импульса: [ I_1 \omega_1 = I_2 \omega_2. ]

Момент инерции системы, когда человек находится на краю: [ I1 = I{\text{platform}} + mR^2, ] где ( I_{\text{platform}} ) — момент инерции платформы относительно ее центра.

Когда человек перемещается в центр, его вклад в момент инерции становится нулевым (его можно рассматривать как материальную точку в центре вращения): [ I2 = I{\text{platform}}. ]

Подставим эти выражения в уравнение сохранения момента импульса: [ (I_{\text{platform}} + mR^2) \omega1 = I{\text{platform}} \omega_2. ]

Решим это уравнение относительно ( I{\text{platform}} ): [ I{\text{platform}} \omega_1 + mR^2 \omega1 = I{\text{platform}} \omega_2, ]

[ I_{\text{platform}} (\omega_1 - \omega_2) = -mR^2 \omega_1, ]

[ I_{\text{platform}} = \frac{mR^2 \omega_1}{\omega_2 - \omega_1}. ]

Теперь выразим момент инерции платформы: Момент инерции платформы можно выразить как ( I_{\text{platform}} = \frac{1}{2} M R^2 ) для диска относительно его оси.

Приравняем и решим относительно ( M ): [ \frac{1}{2} M R^2 = \frac{mR^2 \omega_1}{\omega_2 - \omega_1}, ]

[ M = \frac{2m \omega_1}{\omega_2 - \omega_1}. ]

Теперь подставим значения угловых скоростей:

• ( \omega_1 = \frac{14 \cdot 2\pi}{60} = \frac{7\pi}{15} ) рад/с,
• ( \omega_2 = \frac{25 \cdot 2\pi}{60} = \frac{5\pi}{6} ) рад/с.

Подставим эти значения в формулу для ( M ): [ M = \frac{2 \cdot 70 \cdot \frac{7\pi}{15}}{\frac{5\pi}{6} - \frac{7\pi}{15}}, ]

Упростим выражение: [ M = \frac{140 \cdot \frac{7}{15}}{\frac{25}{6} - \frac{14}{15}}. ]

Приведем дроби к общему знаменателю: [ \frac{25}{6} = \frac{125}{30}, \quad \frac{14}{15} = \frac{28}{30}, ]

[ M = \frac{140 \cdot \frac{7}{15}}{\frac{125}{30} - \frac{28}{30}} = \frac{140 \cdot \frac{7}{15}}{\frac{97}{30}}. ]

Теперь посчитаем: [ M = \frac{140 \cdot \frac{7}{15} \cdot 30}{97} = \frac{1960}{97}. ]

Рассчитаем значение: [ M \approx 20.21 \, \text{кг}. ]

Таким образом, масса платформы составляет приблизительно 20.21 кг.