Плоский воздушный конденсатор изготовлен из двух одинаковых квадратных пластин со стороной а, зазор между которыми равен d. Другой плоский конденсатор изготовлен из двух одинаковых квадратных пластин со стороной а/3, зазор между которыми также равен d, и заполнен непроводящим веществом. Чему равна диэлектрическая проницаемость этого вещества, если электрические ёмкости данных конденсаторов одинаковы?
Для нахождения диэлектрической проницаемости вещества во втором конденсаторе, мы можем воспользоваться формулой для емкости конденсатора:
C = ε₀ ε S / d
Где C - емкость конденсатора, ε₀ - диэлектрическая проницаемость вакуума, ε - диэлектрическая проницаемость вещества между пластинами, S - площадь пластин, d - расстояние между пластинами.
Для первого конденсатора с площадью S = a^2 и стороной a, имеем:
C₁ = ε₀ ε a^2 / d
Для второго конденсатора с площадью S = (a/3)^2 = a^2/9 и стороной a/3, имеем:
C₂ = ε₀ ε a^2/9 / d
Так как электрические емкости конденсаторов одинаковы, то C₁ = C₂:
ε₀ ε a^2 / d = ε₀ ε a^2/9 / d
Упрощая уравнение, получаем:
ε = 9
Таким образом, диэлектрическая проницаемость вещества, заполняющего второй конденсатор, равна 9.
Для того чтобы найти диэлектрическую проницаемость вещества, заполняющего второй конденсатор, нужно воспользоваться формулой для вычисления электроёмкости плоского конденсатора.
Электроёмкость плоского конденсатора без диэлектрика можно выразить следующим образом: [ C = \frac{\varepsilon_0 \cdot A}{d}, ] где:
Для первого конденсатора: [ C_1 = \frac{\varepsilon_0 \cdot a^2}{d}. ]
Второй конденсатор имеет диэлектрик, поэтому его ёмкость будет: [ C_2 = \frac{\varepsilon_0 \cdot \varepsilon \cdot \left(\frac{a}{3}\right)^2}{d}, ] где ( \varepsilon ) — диэлектрическая проницаемость вещества.
Из условия задачи известно, что ёмкости этих конденсаторов одинаковы, то есть: [ C_1 = C_2. ]
Подставим выражения для ёмкостей: [ \frac{\varepsilon_0 \cdot a^2}{d} = \frac{\varepsilon_0 \cdot \varepsilon \cdot \left(\frac{a}{3}\right)^2}{d}. ]
Сократим на общие множители и выразим ( \varepsilon ): [ a^2 = \varepsilon \cdot \left(\frac{a}{3}\right)^2. ]
Упростим правую часть: [ a^2 = \varepsilon \cdot \frac{a^2}{9}. ]
Теперь выразим ( \varepsilon ): [ \varepsilon = 9. ]
Таким образом, диэлектрическая проницаемость вещества, заполняющего второй конденсатор, равна ( 9 ).
