Помогите пожалуйста В момент t=0 частице сообщили начальную скорость v0, и она начала двигаться под действием силы сопротивления среды, пропорциональная ее скорости как F=-rv. Найти: 1) время движения частицы под действием этой силы; 2) скорость частицы в зависимости от пройденного ею пути, а также полный путь до остановки.
Давайте подробно разберем задачу.
Частице сообщают начальную скорость ( v_0 ) в момент времени ( t = 0 ). Затем частица начинает двигаться в среде, оказывающей сопротивление, пропорциональное её скорости: ( F = -r v ), где ( r ) — коэффициент сопротивления среды. Сила сопротивления всегда направлена противоположно скорости, и её величина линейно зависит от скорости частицы. Необходимо найти:
Согласно второму закону Ньютона, сила, действующая на частицу, равна произведению её массы ( m ) на ускорение: [ F = m \frac{dv}{dt}. ] Подставим сюда выражение для силы сопротивления: [ m \frac{dv}{dt} = -r v. ]
Разделим обе части на ( m v ) (при ( v \neq 0 )) и выразим производную: [ \frac{dv}{v} = -\frac{r}{m} dt. ]
Проинтегрируем обе части уравнения: [ \int \frac{1}{v} dv = -\frac{r}{m} \int dt. ]
Левая часть интеграла даёт натуральный логарифм скорости: [ \ln v = -\frac{r}{m} t + C, ] где ( C ) — произвольная константа интегрирования. При ( t = 0 ) скорость ( v = v_0 ), подставим это в уравнение для определения ( C ): [ \ln v_0 = C. ]
Тогда уравнение для скорости принимает вид: [ \ln v = -\frac{r}{m} t + \ln v_0. ]
Преобразуем, используя свойства логарифмов: [ \ln \frac{v}{v_0} = -\frac{r}{m} t. ]
Избавимся от логарифма, возводя обе стороны в степень ( e ): [ \frac{v}{v_0} = e^{-\frac{r}{m} t}. ]
Таким образом, скорость частицы в зависимости от времени: [ v(t) = v_0 e^{-\frac{r}{m} t}. ]
Частица никогда не достигает нулевой скорости за конечное время, но практически её движение можно считать остановленным, когда скорость становится пренебрежимо малой.
Чтобы найти зависимость скорости от пройденного пути, начнём с выражения для скорости: [ v(t) = v_0 e^{-\frac{r}{m} t}. ]
Путь ( x(t) ) выражается через скорость как: [ \frac{dx}{dt} = v(t). ]
Подставим выражение для ( v(t) ): [ \frac{dx}{dt} = v_0 e^{-\frac{r}{m} t}. ]
Интегрируем по времени для нахождения пути: [ x(t) = \int v_0 e^{-\frac{r}{m} t} dt. ]
Вынесем константы за знак интеграла: [ x(t) = v_0 \int e^{-\frac{r}{m} t} dt. ]
Интеграл от экспоненты: [ \int e^{-\frac{r}{m} t} dt = -\frac{m}{r} e^{-\frac{r}{m} t}. ]
Подставим это в выражение для пути: [ x(t) = -\frac{m}{r} v_0 e^{-\frac{r}{m} t} + C_x. ]
При ( t = 0 ) путь ( x = 0 ), поэтому ( C_x = \frac{m}{r} v_0 ). Тогда: [ x(t) = \frac{m}{r} v_0 \left(1 - e^{-\frac{r}{m} t}\right). ]
Теперь найдём зависимость скорости от пути ( x ). Из выражения для ( x(t) ): [ x(t) = \frac{m}{r} v_0 \left(1 - e^{-\frac{r}{m} t}\right). ]
Выразим экспоненту: [ e^{-\frac{r}{m} t} = 1 - \frac{r}{m} \frac{x}{v_0}. ]
Подставим это в выражение для скорости: [ v(t) = v_0 e^{-\frac{r}{m} t} = v_0 \left(1 - \frac{r}{m} \frac{x}{v_0}\right). ]
Скорость в зависимости от пути: [ v(x) = v_0 - \frac{r}{m} x. ]
Когда частица останавливается, её скорость становится равной нулю. Из выражения для ( v(x) ): [ v(x) = v_0 - \frac{r}{m} x. ]
При ( v = 0 ): [ 0 = v_0 - \frac{r}{m} x. ]
Решаем относительно ( x ): [ x_{\text{полный}} = \frac{m}{r} v_0. ]
Задача, которую вы описали, относится к движению частицы в среде с сопротивлением, пропорциональным скорости. Рассмотрим ее более подробно.
На частицу действует сила сопротивления, которая описывается уравнением:
[ F = -rv, ]
где ( r ) — коэффициент сопротивления, а ( v ) — скорость частицы. По второму закону Ньютона:
[ m \frac{dv}{dt} = -rv, ]
где ( m ) — масса частицы. Перепишем это уравнение:
[ \frac{dv}{dt} = -\frac{r}{m} v. ]
Это уравнение можно решить методом отделения переменных. Перепишем его в следующем виде:
[ \frac{dv}{v} = -\frac{r}{m} dt. ]
Интегрируем обе стороны:
[ \int \frac{dv}{v} = -\frac{r}{m} \int dt. ]
Получаем:
[ \ln |v| = -\frac{r}{m} t + C, ]
где ( C ) — константа интегрирования. Чтобы найти ( C ), подставим начальные условия. В момент времени ( t = 0 ) скорость равна ( v_0 ):
[ \ln |v_0| = C. ]
Таким образом, у нас есть:
[ \ln |v| = -\frac{r}{m} t + \ln |v_0|. ]
Экспоненцируя обе стороны, получаем:
[ |v| = |v_0| e^{-\frac{r}{m} t}. ]
Так как скорость не может быть отрицательной, можно убрать модуль:
[ v = v_0 e^{-\frac{r}{m} t}. ]
Теперь найдем время, за которое частица остановится. Установим ( v = 0 ):
На практике, скорость никогда не достигает нуля, но стремится к нему. Чтобы найти время, за которое скорость уменьшится до значения, близкого к нулю, можно рассмотреть, когда скорость упадет до некоторого значения, например, ( \epsilon ):
[ \epsilon = v_0 e^{-\frac{r}{m} t}. ]
Решая это уравнение относительно ( t ):
[ t = -\frac{m}{r} \ln\left(\frac{\epsilon}{v_0}\right). ]
Таким образом, частица будет двигаться бесконечно долго, но скорость будет стремиться к нулю.
Теперь найдем связь между скоростью и пройденным путем. Сначала выразим пройденный путь ( s ). Мы знаем, что скорость равна производной пути по времени:
[ v = \frac{ds}{dt}. ]
Подставим выражение для скорости:
[ \frac{ds}{dt} = v_0 e^{-\frac{r}{m} t}. ]
Перепишем это уравнение:
[ ds = v_0 e^{-\frac{r}{m} t} dt. ]
Теперь интегрируем обе стороны. Для этого сначала выразим ( t ) через ( s ). Мы знаем, что:
[ t = -\frac{m}{r} \ln\left(\frac{s}{v_0}\right) \quad \text{(при условии, что } s = 0 \text{ при } t=0\text{)}. ]
Теперь подставим ( t ) обратно в интеграл:
[ s = \int_0^t v_0 e^{-\frac{r}{m} t'} dt'. ]
Интегрируем:
[ s = v_0 \left[-\frac{m}{r} e^{-\frac{r}{m} t'}\right]_0^t = v_0 \left(-\frac{m}{r} (e^{-\frac{r}{m} t} - 1)\right). ]
Теперь подставим ( e^{-\frac{r}{m} t} = \frac{s}{v_0} ):
[ s = -\frac{m v_0}{r} \left( \frac{s}{v_0} - 1 \right) = -\frac{m}{r} s + \frac{m v_0}{r}. ]
Переписываем уравнение:
[ s + \frac{m}{r} s = \frac{m v_0}{r}. ]
Складываем слагаемые:
[ s \left(1 + \frac{m}{r}\right) = \frac{m v_0}{r}. ]
Отсюда:
[ s = \frac{m v_0}{r} \cdot \frac{1}{1 + \frac{m}{r}} = \frac{m v_0}{m + r}. ]
Таким образом, полный путь до остановки:
[ s_{\text{max}} = \frac{m v_0}{r}. ]
Если у вас есть дополнительные вопросы или требуется разъяснение, пожалуйста, дайте знать!
