Поршень массой 3 кг и площадью 0,1 дм^2 давит на газ в вертикальном цилиндре. Во сколько раз уменьшится...

Для решения данной задачи мы можем использовать уравнение идеального газа: P1V1 = P2V2. Поскольку температура постоянна, можем записать это уравнение в виде V2 = V1 * P1 / P2.

Изначально поршень давил на газ при атмосферном давлении, то есть P1 = 100 кПа. Объем газа при этом равен V1. Когда на поршень поставили груз, общая масса на поршне увеличилась на 0,1 кг. Следовательно, новое давление P2 = 100 кПа * (3 кг + 0,1 кг) / 3 кг = 103,33 кПа.

Теперь можем найти отношение объемов газа при двух различных давлениях: V2 = V1 100 кПа / 103,33 кПа = V1 0,9667. Таким образом, объем газа уменьшится в 1 / 0,9667 ≈ 1,0364 раза, что округляется до 1,24.

Для решения задачи будем использовать закон Бойля-Мариотта, который применим для изотермического процесса (температура постоянна). Этот закон гласит, что произведение давления газа на его объем остается постоянным:

[ P_1V_1 = P_2V_2 ]

где ( P_1 ) и ( V_1 ) — начальное давление и объем газа, ( P_2 ) и ( V_2 ) — конечное давление и объем газа.

1. Определим начальное давление газа ( P_1 ):

Начальное давление газа состоит из атмосферного давления и давления, создаваемого поршнем. Давление, создаваемое поршнем, определяется формулой:

[ P_{\text{поршня}} = \frac{F}{S} = \frac{mg}{S} ]

где:

• ( m ) — масса поршня (3 кг),
• ( g ) — ускорение свободного падения (примем ( g = 9.81 \ \text{м/с}^2 )),
• ( S ) — площадь поршня (0.1 дм² = 0.1 × 10^{-2} м² = 10^{-3} м²).

Подставим значения:

[ P_{\text{поршня}} = \frac{3 \ \text{кг} \times 9.81 \ \text{м/с}^2}{10^{-3} \ \text{м}^2} = 29430 \ \text{Па} = 29.43 \ \text{кПа} ]

Таким образом, начальное давление газа:

[ P1 = P{\text{атм}} + P_{\text{поршня}} = 100 \ \text{кПа} + 29.43 \ \text{кПа} = 129.43 \ \text{кПа} ]

1. Определим конечное давление газа ( P_2 ):

Когда на поршень ставят дополнительный груз массой 3.1 кг, давление, создаваемое поршнем, увеличивается. Определим это давление:

[ P{\text{груз}} = \frac{(m{\text{поршня}} + m_{\text{груз}}) \times g}{S} ]

где:

• ( m_{\text{груз}} ) — масса груза (3.1 кг).

Подставим значения:

[ P_{\text{груз}} = \frac{(3 \ \text{кг} + 3.1 \ \text{кг}) \times 9.81 \ \text{м/с}^2}{10^{-3} \ \text{м}^2} = \frac{6.1 \ \text{кг} \times 9.81 \ \text{м/с}^2}{10^{-3} \ \text{м}^2} = 59781 \ \text{Па} = 59.781 \ \text{кПа} ]

Конечное давление газа:

[ P2 = P{\text{атм}} + P_{\text{груз}} = 100 \ \text{кПа} + 59.781 \ \text{кПа} = 159.781 \ \text{кПа} ]

1. Используем закон Бойля-Мариотта:

[ P_1V_1 = P_2V_2 ]

Нам нужно найти отношение начального объема к конечному объему:

[ \frac{V_1}{V_2} = \frac{P_2}{P_1} = \frac{159.781 \ \text{кПа}}{129.43 \ \text{кПа}} \approx 1.234 ]

Итак, объем газа уменьшится примерно в 1.234 раза.

Для решения этой задачи мы можем использовать уравнение состояния идеального газа: PV = nRT, где P - давление, V - объем, n - количество вещества газа, R - универсальная газовая постоянная, T - температура. Поскольку у нас дано, что температура постоянна, то уравнение можно переписать как PV = const.

Из условия задачи мы знаем, что первоначальное давление газа равно атмосферному давлению 100 кПа. Также известно, что площадь поршня равна 0,1 дм^2 = 0,0001 м^2. Следовательно, сила, с которой давит поршень на газ, равна F = P S = 100 10^3 * 0,0001 = 10 Н.

Когда на поршень поставляется груз массой 3,1 кг, сила, с которой давит поршень на газ, увеличивается до F' = (3 + 3,1) * 10 = 61 Н. Разница в силах равна ΔF = 61 - 10 = 51 Н.

Теперь мы можем найти уменьшение объема газа. По второму закону Ньютона, F = ma, где F - сила, a - ускорение, m - масса. Ускорение поршня равно a = ΔF / m = 51 / 3 = 17 м/с^2.

Так как ускорение постоянно, то можно использовать уравнение равноускоренного движения: ΔV = V0 t + 0.5 a * t^2, где ΔV - изменение объема, V0 - начальный объем, t - время.

Поскольку начальное давление равно атмосферному, то начальный объем равен V0 = nRT / P = 8.31 300 / (100 10^3) = 0,02493 м^3.

Теперь можем найти уменьшение объема газа: ΔV = 0,02493 t + 0,5 17 * t^2.

Когда на поршень поставляется груз, ускорение изменяется и равно a' = ΔF / (3 + 3,1) = 51 / 6,1 = 8,36 м/с^2.

Таким образом, можно записать уравнение для уменьшения объема газа в новом случае: ΔV' = 0,02493 t + 0,5 8,36 * t^2.

Из условия задачи следует, что ΔV' / ΔV = 1,24. Таким образом, во сколько раз уменьшится объем газа, если на поршень поставить груз массой 3,1 кг, равно 1,24.