При изобарном расширении постоянной массы гелия при нормальном атмосферном давлении его объем увеличился на 0,2м^3. определите изменение внутренней энергии гелия. ответ выразите в кдж
При изобарном расширении постоянной массы гелия при нормальном атмосферном давлении его объем увеличился на 0,2м^3. определите изменение внутренней энергии гелия. ответ выразите в кдж
Для решения задачи о изменении внутренней энергии гелия при изобарном расширении нужно использовать закон изменения внутренней энергии для идеального газа. Внутренняя энергия идеального газа зависит только от температуры и количества вещества, и для одноатомного газа, такого как гелий, можно использовать следующую формулу:
[ \Delta U = \frac{3}{2} n R \Delta T ]
где:
Для начала нам нужно определить, сколько молей гелия у нас имеется. Мы можем использовать уравнение состояния идеального газа:
[ PV = nRT ]
где:
При нормальном атмосферном давлении (P = 101325 \, \text{Па}) и объеме (V = 0.2 \, \text{м}^3).
Сначала найдем количество молей (n), но для этого нам нужно знать начальную температуру (T). Если мы предположим, что начальная температура равна 273 К (что соответствует 0 °C), то мы можем подставить значения:
[ n = \frac{PV}{RT} = \frac{(101325 \, \text{Па}) \cdot (0.2 \, \text{м}^3)}{(8.314 \, \text{Дж/(моль·К)}) \cdot (273 \, \text{К})} \approx 8.76 \, \text{моль} ]
Теперь, чтобы найти изменение температуры (\Delta T), мы можем воспользоваться уравнением состояния идеального газа при начальном и конечном состояниях, учитывая, что процесс изобарный:
[ P V_1 = n R T_1 \quad \text{и} \quad P V_2 = n R T_2 ]
Разница между конечным и начальным состоянием:
[ P (V_2 - V_1) = n R (T_2 - T_1) ]
Так как (V_2 - V_1 = 0.2 \, \text{м}^3) и (P = 101325 \, \text{Па}), мы можем выразить изменение температуры:
[ 101325 \cdot 0.2 = n R (T_2 - T_1) ]
Подставив (n) и (R):
[ 101325 \cdot 0.2 = 8.76 \cdot 8.314 \cdot (T_2 - T_1) ]
Решим это уравнение для ((T_2 - T_1)):
[ 20265 = 72.824 \cdot (T_2 - T_1) ]
[ T_2 - T_1 = \frac{20265}{72.824} \approx 277.5 \, \text{К} ]
Теперь, зная (\Delta T), можем найти изменение внутренней энергии:
[ \Delta U = \frac{3}{2} n R \Delta T ]
Подставим известные значения:
[ \Delta U = \frac{3}{2} \cdot 8.76 \cdot 8.314 \cdot 277.5 ]
Вычислим:
[ \Delta U \approx \frac{3}{2} \cdot 8.76 \cdot 8.314 \cdot 277.5 \approx 3.196 \cdot 10^4 \, \text{Дж} \approx 31.96 \, \text{кДж} ]
Таким образом, изменение внутренней энергии гелия составляет примерно 31.96 кДж.
При изобарном процессе изменение внутренней энергии газа можно определить с помощью уравнения:
[ \Delta U = nC_v \Delta T ]
где ( n ) - количество вещества газа, ( C_v ) - удельная теплоемкость при постоянном объеме, ( \Delta T ) - изменение температуры. Однако, для идеального газа при изобарном процессе изменение внутренней энергии также можно выразить через работу, которая выполняется при расширении:
[ Q = W + \Delta U ]
где ( Q ) - количество теплоты, переданное газу, а ( W ) - работа, выполненная газом.
Работа при изобарном расширении рассчитывается по формуле:
[ W = P \Delta V ]
При нормальном атмосферном давлении ( P ) равно 101325 Па, а изменение объема ( \Delta V = 0.2 \, \text{м}^3 ).
Подставим значения:
[ W = 101325 \, \text{Па} \times 0.2 \, \text{м}^3 = 20265 \, \text{Дж} = 20.265 \, \text{кДж} ]
При изобарном процессе изменение внутренней энергии (при постоянном количестве газа) будет равно нулю, так как вся переданная теплота идет на выполнение работы. Таким образом:
[ \Delta U = 0 \, \text{кДж} ]
Ответ: изменение внутренней энергии гелия равно 0 кДж.
Для решения задачи по изменению внутренней энергии гелия при изобарном расширении давайте разберёмся с основными принципами термодинамики.
Необходимо найти изменение внутренней энергии газа ( \Delta U ).
Внутренняя энергия идеального газа определяется как: [ U = \frac{i}{2} nRT, ] где ( i ) — число степеней свободы молекулы (для одноатомного газа ( i = 3 )), ( n ) — количество вещества, ( R ) — универсальная газовая постоянная (( R \approx 8,31 \, \text{Дж/(моль·К)} )), ( T ) — температура.
Изменение внутренней энергии: [ \Delta U = \frac{i}{2} nR \Delta T, ] где ( \Delta T ) — изменение температуры.
Уравнение состояния идеального газа: [ PV = nRT. ]
При изобарном процессе из первого начала термодинамики: [ Q = \Delta U + A, ] где ( Q ) — количество теплоты, ( A ) — работа газа, а ( \Delta U ) — изменение внутренней энергии.
Работа газа при изобарном процессе: [ A = P \Delta V. ]
Для изобарного процесса известно, что количество теплоты связано с изменением температуры: [ Q = c_p n \Delta T, ] где ( c_p = \frac{i+2}{2}R ) — удельная теплоёмкость при постоянном давлении для идеального газа.
Так как ( Q = \Delta U + A ), то: [ \Delta U = Q - A. ]
Работа газа: [ A = P \Delta V = 101325 \cdot 0,2 = 20265 \, \text{Дж}. ]
Для одноатомного газа (( i = 3 )): [ c_p = \frac{i+2}{2}R = \frac{3+2}{2} \cdot 8,31 = 20,775 \, \text{Дж/(моль·К)}. ]
Теплота: [ Q = c_p n \Delta T. ]
Но, используя соотношения для идеального газа, можно выразить ( \Delta T ) через ( \Delta V ). Из уравнения состояния: [ nR \Delta T = P \Delta V, ] откуда: [ \Delta T = \frac{P \Delta V}{nR}. ]
Подставляя это в выражение для ( Q ): [ Q = c_p n \frac{P \Delta V}{nR} = c_p \frac{P \Delta V}{R}. ]
Подставим ( c_p = \frac{5}{2}R ): [ Q = \frac{5}{2}R \frac{P \Delta V}{R} = \frac{5}{2} P \Delta V. ]
Теперь найдём ( \Delta U ): [ \Delta U = Q - A = \frac{5}{2} P \Delta V - P \Delta V. ]
Приведём подобные члены: [ \Delta U = \left( \frac{5}{2} - 1 \right) P \Delta V = \frac{3}{2} P \Delta V. ]
Подставим известные значения: [ \Delta U = \frac{3}{2} \cdot 101325 \cdot 0,2 = \frac{3}{2} \cdot 20265 = 30397,5 \, \text{Дж}. ]
Переведём в килоджоули: [ \Delta U = 30,4 \, \text{кДж}. ]
Изменение внутренней энергии гелия равно 30,4 кДж.
