Снаряд массой 10кг имел скорость 200м/с в верхней точке траектории. В этой точке он разорвался на две части. Меньшая часть массой 3кг полетела под углом 60градусов к горизонту, получив начальную скорость 400м/с. С какой скоростью и под каким углом к горизонту полетит большой осколок?
Для решения задачи используем закон сохранения импульса, так как в данной ситуации система считается замкнутой (внешние силы, такие как гравитация, действуют на оба осколка одинаково и не меняют суммарный импульс системы).
Ищем:
Масса большего осколка: [ m2 = m{\text{снаряд}} - m_1 = 10 - 3 = 7 \, \text{кг}. ]
До взрыва снаряд двигался горизонтально, поэтому его импульс по горизонтали равен: [ p{x, \text{до}} = m{\text{снаряд}} \cdot v_{\text{снаряд}} = 10 \cdot 200 = 2000 \, \text{кг·м/с}. ]
После взрыва импульс по горизонтали равен сумме горизонтальных составляющих импульсов двух осколков: [ p_{x, \text{после}} = m_1 \cdot v_1 \cdot \cos \alpha + m_2 \cdot v_2 \cdot \cos \beta. ]
Приравниваем: [ 2000 = 3 \cdot 400 \cdot \cos 60^\circ + 7 \cdot v_2 \cdot \cos \beta. ]
Подставляем ( \cos 60^\circ = 0.5 ): [ 2000 = 3 \cdot 400 \cdot 0.5 + 7 \cdot v_2 \cdot \cos \beta, ] [ 2000 = 600 + 7 \cdot v_2 \cdot \cos \beta. ]
Упростим: [ 1400 = 7 \cdot v_2 \cdot \cos \beta. \tag{1} ]
До взрыва снаряд не имел вертикальной составляющей скорости, поэтому его импульс по вертикали равен: [ p_{y, \text{до}} = 0. ]
После взрыва импульс по вертикали равен сумме вертикальных составляющих импульсов двух осколков: [ p_{y, \text{после}} = m_1 \cdot v_1 \cdot \sin \alpha - m_2 \cdot v_2 \cdot \sin \beta. ]
Приравниваем: [ 0 = 3 \cdot 400 \cdot \sin 60^\circ - 7 \cdot v_2 \cdot \sin \beta. ]
Подставляем ( \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} ): [ 0 = 3 \cdot 400 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - 7 \cdot v_2 \cdot \sin \beta, ] [ 0 = 600\sqrt{3} - 7 \cdot v_2 \cdot \sin \beta. ]
Упростим: [ 600\sqrt{3} = 7 \cdot v_2 \cdot \sin \beta. \tag{2} ]
Теперь у нас есть две системы уравнений:
Разделим второе уравнение на первое, чтобы избавиться от ( v_2 ): [ \frac{\sin \beta}{\cos \beta} = \frac{600\sqrt{3}}{1400}. ]
Зная, что ( \frac{\sin \beta}{\cos \beta} = \tan \beta ), получаем: [ \tan \beta = \frac{600\sqrt{3}}{1400}. ]
Упростим: [ \tan \beta = \frac{60\sqrt{3}}{140} = \frac{6\sqrt{3}}{14} = \frac{3\sqrt{3}}{7}. ]
Найдём угол ( \beta ): [ \beta = \arctan \left( \frac{3\sqrt{3}}{7} \right). ]
Численно: [ \beta \approx 39.1^\circ. ]
Подставим ( \cos \beta ) в первое уравнение. Используем тригонометрическое тождество: [ \cos \beta = \frac{1}{\sqrt{1 + \tan^2 \beta}}. ]
Подставим ( \tan^2 \beta = \left( \frac{3\sqrt{3}}{7} \right)^2 = \frac{27}{49} ): [ \cos \beta = \frac{1}{\sqrt{1 + \frac{27}{49}}} = \frac{1}{\sqrt{\frac{76}{49}}} = \frac{7}{\sqrt{76}}. ]
Теперь подставим в уравнение ( 1400 = 7 \cdot v_2 \cdot \cos \beta ): [ 1400 = 7 \cdot v_2 \cdot \frac{7}{\sqrt{76}}. ]
Упростим: [ v_2 = \frac{1400 \cdot \sqrt{76}}{49}. ]
Численно: [ v_2 \approx 205.1 \, \text{м/с}. ]
Для решения данной задачи воспользуемся законом сохранения импульса. В момент разрыва снаряда его общий импульс равен импульсу обеих частей после разрыва.
Импульс снаряда в верхней точке траектории: [ \vec{P_0} = m_0 \cdot \vec{v_0} = 10 \, \text{кг} \cdot 200 \, \text{м/с} = 2000 \, \text{кг} \cdot \text{м/с} ] Импульс направлен вертикально вверх.
Импульс меньшей части: [ \vec{P_1} = m_1 \cdot \vec{v_1} ] Сначала разложим скорость меньшей части на компоненты:
Теперь найдем импульс меньшей части:
Согласно закону сохранения импульса, сумма импульсов до разрыва равна сумме импульсов после разрыва: [ \vec{P_0} = \vec{P_1} + \vec{P_2} ]
Разложим импульс большего осколка ((P_2)) на компоненты:
Горизонтальная компонента: [ P{2x} = P{0x} - P{1x} ] Где (P{0x} = 0), так как снаряд движется вертикально: [ P_{2x} = 0 - 600 \, \text{кг} \cdot \text{м/с} = -600 \, \text{кг} \cdot \text{м/с} ]
Вертикальная компонента: [ P{2y} = P{0y} - P{1y} ] Где (P{0y} = 2000 \, \text{кг} \cdot \text{м/с}): [ P_{2y} = 2000 \, \text{кг} \cdot \text{м/с} - 1039.23 \, \text{кг} \cdot \text{м/с} \approx 960.77 \, \text{кг} \cdot \text{м/с} ]
Теперь найдем скорость большей части: [ v2 = \sqrt{v{2x}^2 + v{2y}^2} ] Где (v{2x} = \frac{P_{2x}}{m2} = \frac{-600 \, \text{кг} \cdot \text{м/с}}{7 \, \text{кг}} \approx -85.71 \, \text{м/с}) и (v{2y} = \frac{P_{2y}}{m_2} = \frac{960.77 \, \text{кг} \cdot \text{м/с}}{7 \, \text{кг}} \approx 137.25 \, \text{м/с})
Теперь подставим эти значения в формулу для скорости: [ v_2 = \sqrt{(-85.71)^2 + (137.25)^2} \approx \sqrt{7348.74 + 18866.56} \approx \sqrt{26215.3} \approx 161.4 \, \text{м/с} ]
Угол ( \theta ) можно найти через тангенс: [ \tan(\theta) = \frac{v{2y}}{-v{2x}} ] [ \theta = \arctan\left(\frac{137.25}{85.71}\right) \approx \arctan(1.60) \approx 58.31^\circ ]
Большая часть снаряда полетит со скоростью примерно ( 161.4 \, \text{м/с} ) под углом примерно ( 58.31^\circ ) к горизонту.
