Тело массой m брошены с горизонтальной поверхности со скоростью v0 под углом альфа к горизонту. если...

Импульс тела - это векторная величина, равная произведению массы тела на его скорость. По определению, изменение импульса равно разности импульсов в конечный и начальный моменты времени.

При бросании тела с горизонтальной поверхности, импульс тела в начальный момент времени равен ( \vec{p_0} = m \cdot \vec{v_0} ), где ( m ) - масса тела, а ( \vec{v_0} ) - начальная скорость тела.

В конечный момент времени тело достигнет максимальной высоты и его скорость будет равна нулю, так как все кинетическая энергия будет переведена в потенциальную. Тогда импульс тела в конечный момент времени равен ( \vec{p} = m \cdot \vec{v_f} = 0 ), где ( \vec{v_f} ) - конечная скорость тела.

Таким образом, изменение импульса тела за время полета равно разности начального и конечного импульсов: ( \Delta \vec{p} = \vec{p} - \vec{p_0} = 0 - m \cdot \vec{v_0} = -m \cdot \vec{v_0} ).

Модуль изменения импульса тела за время полета равен модулю вектора ( \Delta \vec{p} ): ( | \Delta \vec{p} | = | -m \cdot \vec{v_0} | = m \cdot | \vec{v_0} | ).

Таким образом, модуль изменения импульса тела за время полета равен ( m \cdot | \vec{v_0} | ).

Импульс тела не изменится в отсутствие внешних сил.

Когда тело массой ( m ) бросается с горизонтальной поверхности со скоростью ( v_0 ) под углом ( \alpha ) к горизонту, его движение можно рассматривать как комбинацию двух независимых движений: горизонтального и вертикального.

Для начала, разобьем начальную скорость ( v0 ) на горизонтальную (( v{0x} )) и вертикальную (( v_{0y} )) составляющие:

[ v_{0x} = v0 \cos(\alpha) ] [ v{0y} = v_0 \sin(\alpha) ]

Поскольку сопротивлением воздуха пренебрегаем, горизонтальная составляющая скорости ( v{0x} ) остается постоянной на протяжении всего полета. Вертикальная составляющая скорости ( v{0y} ) изменяется под действием силы тяжести ( g ).

Через время ( t ) вертикальная скорость ( v_y ) будет равна:

[ vy = v{0y} - g t ]

Время полета ( T ) определяется моментом, когда тело возвращается на горизонтальную поверхность. Для этого мы используем уравнение движения по вертикали:

[ y = v_{0y} t - \frac{1}{2} g t^2 ]

Когда тело возвращается на горизонтальную поверхность, ( y = 0 ):

[ 0 = v_{0y} T - \frac{1}{2} g T^2 ]

Решая это уравнение для ( T ):

[ T (v_{0y} - \frac{1}{2} g T) = 0 ]

Отсюда ( T = 0 ) (начальный момент) или:

[ T = \frac{2 v_{0y}}{g} ]

Теперь, зная время полета ( T ), можем найти конечную вертикальную скорость ( v_y ):

[ vy = v{0y} - g T = v_0 \sin(\alpha) - g \frac{2 v_0 \sin(\alpha)}{g} = -v_0 \sin(\alpha) ]

Таким образом, конечная горизонтальная скорость ( v{x} ) остается ( v{0x} ):

[ v_x = v_0 \cos(\alpha) ]

Теперь найдем начальный и конечный импульсы тела. Начальный импульс ( \vec{p}_0 ):

[ \vec{p}_0 = m \vec{v}_0 = m v_0 (\cos(\alpha) \hat{i} + \sin(\alpha) \hat{j}) ]

Конечный импульс ( \vec{p}_1 ):

[ \vec{p}_1 = m \vec{v} = m (v_0 \cos(\alpha) \hat{i} - v_0 \sin(\alpha) \hat{j}) ]

Теперь, изменение импульса ( \Delta \vec{p} ):

[ \Delta \vec{p} = \vec{p}_1 - \vec{p}_0 ]

[ \Delta \vec{p} = m (v_0 \cos(\alpha) \hat{i} - v_0 \sin(\alpha) \hat{j}) - m v_0 (\cos(\alpha) \hat{i} + \sin(\alpha) \hat{j}) ]

[ \Delta \vec{p} = m v_0 (\cos(\alpha) \hat{i} - \sin(\alpha) \hat{j} - \cos(\alpha) \hat{i} - \sin(\alpha) \hat{j}) ]

[ \Delta \vec{p} = m v_0 (0 \hat{i} - 2 \sin(\alpha) \hat{j}) ]

[ \Delta \vec{p} = -2 m v_0 \sin(\alpha) \hat{j} ]

Теперь найдем модуль изменения импульса:

[ |\Delta \vec{p}| = |-2 m v_0 \sin(\alpha)| = 2 m v_0 \sin(\alpha) ]

Таким образом, модуль изменения импульса тела за время полета равен:

[ |\Delta \vec{p}| = 2 m v_0 \sin(\alpha) ]