Тело массой m брошены с горизонтальной поверхности со скоростью v0 под углом альфа к горизонту. если...

Импульс тела - это векторная величина, равная произведению массы тела на его скорость. По определению, изменение импульса равно разности импульсов в конечный и начальный моменты времени.

При бросании тела с горизонтальной поверхности, импульс тела в начальный момент времени равен $\overrightarrow{p_0}=m\cdot \overrightarrow{v_0}$, где $m$ - масса тела, а $\overrightarrow{v_0}$ - начальная скорость тела.

В конечный момент времени тело достигнет максимальной высоты и его скорость будет равна нулю, так как все кинетическая энергия будет переведена в потенциальную. Тогда импульс тела в конечный момент времени равен $\overrightarrow{p}=m\cdot \overrightarrow{v_f}=0$, где $\overrightarrow{v_f}$ - конечная скорость тела.

Таким образом, изменение импульса тела за время полета равно разности начального и конечного импульсов: $\mathrm{\Delta }\overrightarrow{p}=\overrightarrow{p}-\overrightarrow{p_0}=0-m\cdot \overrightarrow{v_0}=-m\cdot \overrightarrow{v_0}$.

Модуль изменения импульса тела за время полета равен модулю вектора $\mathrm{\Delta }\overrightarrow{p}$: $|\mathrm{\Delta }\overrightarrow{p}|=|-m\cdot \overrightarrow{v_0}|=m\cdot |\overrightarrow{v_0}|$.

Таким образом, модуль изменения импульса тела за время полета равен $m\cdot |\overrightarrow{v_0}|$.

Импульс тела не изменится в отсутствие внешних сил.

Когда тело массой $m$ бросается с горизонтальной поверхности со скоростью $v_0$ под углом $\alpha$ к горизонту, его движение можно рассматривать как комбинацию двух независимых движений: горизонтального и вертикального.

Для начала, разобьем начальную скорость ( v0 ) на горизонтальную (( v{0x} )) и вертикальную $(v_{0y}$) составляющие:

[ v_{0x} = v0 \cos$\alpha$ ] [ v{0y} = v_0 \sin$\alpha$ ]

Поскольку сопротивлением воздуха пренебрегаем, горизонтальная составляющая скорости ( v{0x} ) остается постоянной на протяжении всего полета. Вертикальная составляющая скорости ( v{0y} ) изменяется под действием силы тяжести $g$.

Через время $t$ вертикальная скорость $v_y$ будет равна:

[ vy = v{0y} - g t ]

Время полета $T$ определяется моментом, когда тело возвращается на горизонтальную поверхность. Для этого мы используем уравнение движения по вертикали:

$y=v_{0y}t-\frac{1}{2}g{t}^2$

Когда тело возвращается на горизонтальную поверхность, $y=0$:

$0=v_{0y}T-\frac{1}{2}g{T}^2$

Решая это уравнение для $T$:

$T(v_{0y}-\frac{1}{2}gT)=0$

Отсюда $T=0$ $начальныймомент$ или:

$T=\frac{2v_{0y}}{g}$

Теперь, зная время полета $T$, можем найти конечную вертикальную скорость $v_y$:

[ vy = v{0y} - g T = v_0 \sin$\alpha$ - g \frac{2 v_0 \sin$\alpha$}{g} = -v_0 \sin$\alpha$ ]

Таким образом, конечная горизонтальная скорость ( v{x} ) остается ( v{0x} ):

$v_x=v_0\cos (\alpha )$

Теперь найдем начальный и конечный импульсы тела. Начальный импульс ${\overrightarrow{p}}_0$:

${\overrightarrow{p}}_0=m{\overrightarrow{v}}_0=m{v}_0(\cos (\alpha )\hat{i}+\sin (\alpha )\hat{j})$

Конечный импульс ${\overrightarrow{p}}_1$:

${\overrightarrow{p}}_1=m\overrightarrow{v}=m(v_0\cos (\alpha )\hat{i}-v_0\sin (\alpha )\hat{j})$

Теперь, изменение импульса $\mathrm{\Delta }\overrightarrow{p}$:

$\mathrm{\Delta }\overrightarrow{p}={\overrightarrow{p}}_1-{\overrightarrow{p}}_0$

$\mathrm{\Delta }\overrightarrow{p}=m(v_0\cos (\alpha )\hat{i}-v_0\sin (\alpha )\hat{j})-m{v}_0(\cos (\alpha )\hat{i}+\sin (\alpha )\hat{j})$

$\mathrm{\Delta }\overrightarrow{p}=m{v}_0(\cos (\alpha )\hat{i}-\sin (\alpha )\hat{j}-\cos (\alpha )\hat{i}-\sin (\alpha )\hat{j})$

$\mathrm{\Delta }\overrightarrow{p}=m{v}_0(0\hat{i}-2\sin (\alpha )\hat{j})$

$\mathrm{\Delta }\overrightarrow{p}=-2m{v}_0\sin (\alpha )\hat{j}$

Теперь найдем модуль изменения импульса:

$|\mathrm{\Delta }\overrightarrow{p}|=|-2m{v}_0\sin (\alpha )|=2m{v}_0\sin (\alpha )$

Таким образом, модуль изменения импульса тела за время полета равен:

$|\mathrm{\Delta }\overrightarrow{p}|=2m{v}_0\sin (\alpha )$