Температура He t1=-173oC. Какова скорость молекул азота N2, если средние скорости молекул в сосудах...

Рассмотрим задачу подробно. Условие гласит, что средние скорости молекул в двух сосудах одинаковы. Это связано с кинетической теорией газов, где средняя квадратичная скорость молекул газа определяется формулой:

[ v_{\text{ср}} = \sqrt{\frac{3kT}{m}}, ]

где:

• (v_{\text{ср}}) — средняя квадратичная скорость молекул газа,
• (k) — постоянная Больцмана ((1.38 \times 10^{-23} \, \text{Дж/К})),
• (T) — абсолютная температура газа (в Кельвинах),
• (m) — масса одной молекулы газа.

1. Определим температуру газа (T_1) в Кельвинах.

Температура в задаче дана в градусах Цельсия: (t_1 = -173^\circ \text{C}). Для перевода в Кельвины используем формулу:

[ T = t + 273.15. ]

Следовательно:

[ T_1 = -173 + 273.15 = 100.15 \, \text{К}. ]

2. Уравняем средние квадратичные скорости.

Так как в задаче указано, что средние скорости молекул (v_{\text{ср}}) равны для гелия ((He)) и азота ((N_2)), то:

[ \sqrt{\frac{3kT1}{m{\text{He}}}} = \sqrt{\frac{3kT2}{m{\text{N}_2}}}, ]

где:

• (T_1 = 100.15 \, \text{К}) — температура гелия,
• (T_2) — температура азота, которую мы ищем,
• (m{\text{He}}) и (m{\text{N}_2}) — массы одной молекулы гелия и азота соответственно.

Квадрат обеих сторон уравнения:

[ \frac{3kT1}{m{\text{He}}} = \frac{3kT2}{m{\text{N}_2}}. ]

Сокращаем (3k) (оно одинаково для обеих сторон):

[ \frac{T1}{m{\text{He}}} = \frac{T2}{m{\text{N}_2}}. ]

Выразим (T_2):

[ T_2 = T1 \cdot \frac{m{\text{N}2}}{m{\text{He}}}. ]

3. Найдём массы молекул.

Масса одной молекулы газа связана с молярной массой (M) через число Авогадро (N_A = 6.022 \times 10^{23} \, \text{моль}^{-1}):

[ m = \frac{M}{N_A}. ]

Для гелия ((He)):

• Молярная масса (M_{\text{He}} = 4 \, \text{г/моль} = 4 \times 10^{-3} \, \text{кг/моль}),
• Масса одной молекулы:

[ m_{\text{He}} = \frac{4 \times 10^{-3}}{6.022 \times 10^{23}} \approx 6.64 \times 10^{-27} \, \text{кг}. ]

Для азота ((N_2)):

• Молярная масса (M_{\text{N}_2} = 28 \, \text{г/моль} = 28 \times 10^{-3} \, \text{кг/моль}),
• Масса одной молекулы:

[ m_{\text{N}_2} = \frac{28 \times 10^{-3}}{6.022 \times 10^{23}} \approx 4.65 \times 10^{-26} \, \text{кг}. ]

4. Подставим значения.

Теперь подставим значения в формулу для (T_2):

[ T_2 = T1 \cdot \frac{m{\text{N}2}}{m{\text{He}}}. ]

Подставляем числа:

[ T_2 = 100.15 \cdot \frac{4.65 \times 10^{-26}}{6.64 \times 10^{-27}}. ]

Рассчитаем отношение масс:

[ \frac{4.65 \times 10^{-26}}{6.64 \times 10^{-27}} \approx 7. ]

Следовательно:

[ T_2 \approx 100.15 \cdot 7 = 701.05 \, \text{К}. ]

5. Найдём скорость молекул азота.

Теперь, зная температуру азота (T_2), найдём его среднюю квадратичную скорость. Формула:

[ v_{\text{ср}} = \sqrt{\frac{3kT}{m}}. ]

Для азота:

[ v_{\text{ср, N_2}} = \sqrt{\frac{3 \cdot (1.38 \times 10^{-23}) \cdot 701.05}{4.65 \times 10^{-26}}}. ]

Сначала найдём числитель:

[ 3 \cdot (1.38 \times 10^{-23}) \cdot 701.05 \approx 2.9 \times 10^{-20}. ]

Теперь делим на массу молекулы азота:

[ \frac{2.9 \times 10^{-20}}{4.65 \times 10^{-26}} \approx 6.24 \times 10^{5}. ]

И найдём корень:

[ v_{\text{ср, N_2}} \approx \sqrt{6.24 \times 10^{5}} \approx 790 \, \text{м/с}. ]

Ответ:

Средняя квадратичная скорость молекул азота составляет примерно 790 м/с.

Для определения скорости молекул азота (N₂) при данной температуре гелия (He), мы можем воспользоваться уравнением, описывающим среднюю кинетическую энергию молекул газа. Средняя кинетическая энергия молекул идеального газа определяется как:

[ \langle E_k \rangle = \frac{3}{2} k T, ]

где ( \langle E_k \rangle ) — средняя кинетическая энергия, ( k ) — постоянная Больцмана (( 1.38 \times 10^{-23} \, \text{Дж/К} )), а ( T ) — температура в кельвинах.

Температура ( t_1 = -173^\circ C ) в кельвинах будет:

[ T = -173 + 273.15 = 100.15 \, \text{K}. ]

Теперь можем найти среднюю кинетическую энергию молекул гелия при этой температуре:

[ \langle Ek \rangle{He} = \frac{3}{2} k T = \frac{3}{2} \cdot (1.38 \times 10^{-23}) \cdot (100.15) \approx 2.07 \times 10^{-21} \, \text{Дж}. ]

Теперь, чтобы найти скорость молекул азота, мы можем использовать аналогичное уравнение для него. Для молекул газа, средняя кинетическая энергия также может быть связана со средней квадратичной скоростью ( v ):

[ \langle E_k \rangle = \frac{1}{2} m v^2, ]

где ( m ) — масса одной молекулы газа. Мы можем выразить скорость через среднюю кинетическую энергию:

[ v = \sqrt{\frac{2 \langle E_k \rangle}{m}}. ]

Молекула азота (N₂) имеет молярную массу примерно 28 г/моль, что соответствует массе одной молекулы:

[ m_{N2} = \frac{28 \times 10^{-3} \, \text{кг/моль}}{N_A} \approx 4.65 \times 10^{-26} \, \text{кг}, ]

где ( N_A ) — число Авогадро (( 6.022 \times 10^{23} \, \text{молекул/моль} )).

Теперь подставим ( \langle E_k \rangle ) для N₂ и найдем скорость:

[ v_{N2} = \sqrt{\frac{2 \cdot 2.07 \times 10^{-21}}{4.65 \times 10^{-26}}} \approx \sqrt{\frac{4.14 \times 10^{-21}}{4.65 \times 10^{-26}}} \approx \sqrt{8.91 \times 10^4} \approx 298.5 \, \text{м/с}. ]

Таким образом, средняя скорость молекул азота (N₂) при температуре -173°C будет примерно 298.5 м/с, если средние скорости молекул в сосудах одинаковы.