Теплоизолированный сосуд объёмом V = 2 м3 разделён пористой неподвижной перегородкой на две равные части....

Для решения задачи будем использовать законы термодинамики и свойства газов. Основной идеей здесь является то, что сосуд является теплоизолированным, то есть полная внутренняя энергия системы остается постоянной. В данном случае гелий может диффундировать через пористую перегородку, что приводит к перераспределению частиц гелия между двумя частями сосуда, пока не установится равновесие. Рассмотрим задачу поэтапно.

Дано:

• Объем сосуда ( V = 2 \, \text{м}^3 );
• Объемы двух частей равны: ( V_1 = V_2 = 1 \, \text{м}^3 );
• Число молей гелия вначале: ( \nu_{He} = 2 \, \text{моль} );
• Число молей аргона в одной части: ( \nu_{Ar} = 1 \, \text{моль} );
• Температура гелия вначале: ( T_{He} = 300 \, \text{K} );
• Температура аргона вначале: ( T_{Ar} = 600 \, \text{K} ).

Требуется найти температуру гелия ( T'_{He} ) после установления теплового равновесия.

План решения:

1. Предположения:

   • Газы идеальны.
   • Полная энергия системы сохраняется, так как сосуд теплоизолирован.
   • Аргон не проникает через перегородку, а гелий распределяется между обеими частями, достигая равновесного состояния.

2. Формулы для внутренней энергии газа: У внутренней энергии идеального газа следующая зависимость: [ U = \frac{3}{2} \nu R T, ] где ( \nu ) — число молей газа, ( R ) — универсальная газовая постоянная, ( T ) — температура газа.

3. Сохранение энергии: Так как сосуд теплоизолирован, суммарная внутренняя энергия системы до равновесия равна суммарной внутренней энергии системы после равновесия: [ U{He}^{(1)} + U{Ar} = U{He}^{(2)} + U{Ar}. ] Учитывая, что внутренняя энергия аргона не изменяется (аргон остается в своей части сосуда с неизменным числом молей и температурой), уравнение можно переписать как: [ \frac{3}{2} \nu{He} R T{He} + \frac{3}{2} \nu{Ar} R T{Ar} = \frac{3}{2} \nu{He} R T'{He} + \frac{3}{2} \nu{Ar} R T{Ar}. ]

4. Упрощение уравнения: Убираем общие множители ( \frac{3}{2} R ): [ \nu{He} T{He} + \nu{Ar} T{Ar} = \nu{He} T'{He} + \nu{Ar} T{Ar}. ] Сокращаем одинаковые члены: [ \nu{He} T{He} = \nu{He} T'{He}. ]

Итак.

Для решения задачи о тепловом равновесии в теплоизолированном сосуде, в котором находится гелий и аргон, следует учесть закон сохранения энергии. Поскольку сосуд является теплоизолированным, общее количество энергии в системе остается постоянным.

1. Определим начальные энергии газа:

Энергия одного моля идеального газа определяется по формуле: [ E = \frac{3}{2} nRT ] где ( E ) — энергия, ( n ) — количество молей, ( R ) — универсальная газовая постоянная (( R \approx 8.314 \, \text{Дж/(моль·К)} )), ( T ) — температура в Кельвинах.

Для гелия:

• ( n_{He} = 2 \, \text{моля} )
• ( T_{He} = 300 \, \text{К} )

Энергия гелия: [ E{He} = \frac{3}{2} n{He} R T_{He} = \frac{3}{2} \cdot 2 \cdot 8.314 \cdot 300 ]

[ E_{He} = 3 \cdot 8.314 \cdot 300 = 7482.6 \, \text{Дж} ]

Для аргона:

• ( n_{Ar} = 1 \, \text{моль} )
• ( T_{Ar} = 600 \, \text{К} )

Энергия аргона: [ E{Ar} = \frac{3}{2} n{Ar} R T_{Ar} = \frac{3}{2} \cdot 1 \cdot 8.314 \cdot 600 ]

[ E_{Ar} = \frac{3}{2} \cdot 8.314 \cdot 600 = 2494.2 \, \text{Дж} ]

1. Общая энергия системы: Общая энергия до установления равновесия: [ E{total} = E{He} + E_{Ar} = 7482.6 + 2494.2 = 9976.8 \, \text{Дж} ]

2. Распределение энергии после установления равновесия: После установления теплового равновесия гелий и аргон будут иметь одинаковую температуру ( T_f ).

Энергия гелия после равновесия: [ E{He,f} = \frac{3}{2} n{He} R T_f = 3 \cdot 8.314 \cdot T_f ]

Энергия аргона после равновесия: [ E{Ar,f} = \frac{3}{2} n{Ar} R T_f = \frac{3}{2} \cdot 8.314 \cdot 600 ]

Общая энергия после равновесия: [ E{total,f} = E{He,f} + E_{Ar,f} ]

1. Составим уравнение для равновесия: Учитывая, что ( E{total,f} = E{total} ): [ 3 \cdot 8.314 \cdot T_f + \frac{3}{2} \cdot 8.314 \cdot 600 = 9976.8 ]

Упростим уравнение: [ 3 \cdot 8.314 \cdot T_f + 2494.2 = 9976.8 ]

1. Решим уравнение: [ 3 \cdot 8.314 \cdot T_f = 9976.8 - 2494.2 ] [ 3 \cdot 8.314 \cdot T_f = 7482.6 ] [ T_f = \frac{7482.6}{3 \cdot 8.314} ] [ T_f = \frac{7482.6}{24.942} \approx 300 \, \text{К} ]

Таким образом, после установления теплового равновесия температура гелия ( T_f ) будет приблизительно равна 300 К. Это означает, что температура гелия не изменится, так как он получает тепло от более горячего аргона, а его молекулы могут перемещаться и, следовательно, передавать тепло.