Точечный заряд q=310^-11 Кл находится в центре кривизны тонкого полукольца радиусом R=5 см, равномерно заряженного с линейной плотностью r. Сила взаимодействия точечного заряда и заряженного полукольца равна 610^-5 H. Определить линейную плотность заряда полукольца r.
Чтобы решить эту задачу, нам нужно рассмотреть взаимодействие точечного заряда ( q ) с равномерно заряженным полукольцом. Полукольцо имеет радиус ( R = 5 ) см, и его линейная плотность заряда равна ( \lambda ). Заряд ( q = 3 \times 10^{-11} ) Кл находится в центре кривизны полукольца, и сила взаимодействия между зарядом и полукольцом равна ( F = 6 \times 10^{-5} ) Н.
Определите выражение для силы взаимодействия:
Полукольцо можно разбить на бесконечно малые элементы заряда ( dq ), каждый из которых создает электрическое поле ( dE ) в центре кривизны. Сила, действующая на точечный заряд ( q ) из-за элемента заряда ( dq ), равна ( dF = q \cdot dE ).
Выражение для электрического поля от элемента заряда ( dq ) на расстоянии ( R ) от центра кривизны: [ dE = \frac{k \cdot dq}{R^2} ] где ( k ) — электрическая постоянная (( k = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} )).
Выразите элемент заряда ( dq ) через линейную плотность ( \lambda ):
Линейная плотность заряда ( \lambda ) определяется как заряд на единицу длины: [ dq = \lambda \cdot dL ] где ( dL ) — элемент длины дуги полукольца.
Интегрируйте по всей длине полукольца:
Полукольцо имеет длину ( L = \pi R ). Интегрируя силу ( dF ) вдоль полукольца, учтём, что компоненты сил по радиальным направлениям компенсируются, остаётся лишь сумма компонентов вдоль оси, проходящей через центр кривизны ( (Ox) ).
Полная сила на заряд ( q ): [ F = \int dF = \int \frac{k \cdot q \cdot \lambda \cdot dL}{R^2} \cdot \cos(\theta) ] где (\theta) — угол между радиусом и осью ( Ox ), а (\cos(\theta)) суммирует проекции на ось ( Ox ).
Из-за симметрии полукольца, интеграл по (\cos(\theta)) равен ( \frac{2}{\pi} ).
Подставьте известные значения и решите уравнение:
Полная сила будет: [ F = \frac{k \cdot q \cdot \lambda}{R^2} \cdot \int_{\text{полукольцо}} \cos(\theta) \, dL = \frac{2k \cdot q \cdot \lambda}{R} ]
Подставьте известные значения и решите для (\lambda): [ 6 \times 10^{-5} = \frac{2 \cdot 9 \times 10^9 \cdot 3 \times 10^{-11} \cdot \lambda}{0.05} ]
Решив это уравнение, получаем: [ \lambda = \frac{6 \times 10^{-5} \cdot 0.05}{2 \cdot 9 \times 10^9 \cdot 3 \times 10^{-11}} ]
[ \lambda = \frac{3 \times 10^{-6}}{54 \times 10^{-2}} ]
[ \lambda = \frac{3 \times 10^{-6}}{54 \times 10^{-2}} = \frac{3}{54} \times 10^{-4} ]
[ \lambda = \frac{1}{18} \times 10^{-4} \approx 5.56 \times 10^{-6} \, \text{Кл/м} ]
Таким образом, линейная плотность заряда полукольца равна примерно ( 5.56 \times 10^{-6} ) Кл/м.
Для решения данной задачи мы можем воспользоваться законом Кулона, который описывает взаимодействие между двумя точечными зарядами. Согласно закону Кулона, сила взаимодействия между двумя точечными зарядами пропорциональна произведению значений зарядов и обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними.
Исходя из условия задачи, сила взаимодействия между точечным зарядом и заряженным полукольцом равна 6*10^-5 H. Так как точечный заряд находится в центре полукольца, то можно рассматривать взаимодействие между точечным зарядом и двумя половинами полукольца как взаимодействие между точечным зарядом и точечными зарядами, равными половине линейной плотности заряда полукольца.
Таким образом, можем записать уравнение для силы взаимодействия: F = k |q1 q2| / R^2, где F - сила взаимодействия, k - постоянная Кулона, q1 и q2 - заряды, R - расстояние между зарядами.
Подставляем известные значения: 610^-5 = k |(310^-11) (r/2)| / (0.05)^2, 610^-5 = k 1.510^-11 r / 0.0025, k = 910^9 Н м^2 / Кл^2.
Теперь можем найти линейную плотность заряда полукольца r: r = (610^-5 0.0025) / (1.510^-11 9*10^9), r = 0.0001 Кл/м.
Итак, линейная плотность заряда полукольца равна 0.0001 Кл/м.
