Три одинаковых положительных точечных заряда 1,73∙10^-6 Кл каждый расположены в вершинах равностороннего...

Для того чтобы вся система находилась в равновесии, необходимо, чтобы сумма всех моментов сил электростатического взаимодействия зарядов относительно центра треугольника была равна нулю.

Пусть q - искомый заряд в центре треугольника. Расстояние от заряда в центре до каждой из вершин треугольника равно стороне треугольника, обозначим ее за a. Тогда момент силы взаимодействия между одним из зарядов на вершине и зарядом в центре будет равен qa^2k, где k - постоянная Кулона. Так как треугольник равносторонний, то сумма моментов сил от каждого из трех зарядов на вершинах должна быть равна нулю:

3(qa^2k) = 3(1,73∙10^-6 Клa^2k) q = 1,73∙10^-6 Кл

Таким образом, для того чтобы вся система находилась в равновесии, необходимо поместить заряд 1,73∙10^-6 Кл в центр треугольника.

Чтобы решить эту задачу, нам нужно понять, при каких условиях система зарядов будет находиться в равновесии. В данном случае три одинаковых положительных заряда расположены в вершинах равностороннего треугольника. Нам необходимо найти заряд, который нужно поместить в центр треугольника, чтобы компенсировать силы от всех трех зарядов и обеспечить равновесие системы.

Для этого воспользуемся законом Кулона, который описывает силу взаимодействия между двумя точечными зарядами:

[ F = k \frac{|q_1 q_2|}{r^2}, ]

где:

• ( F ) — сила взаимодействия,
• ( k ) — электрическая постоянная, равная ( 8.99 \times 10^9 \, \text{Нм}^2/\text{Кл}^2 ),
• ( q_1 ) и ( q_2 ) — величины зарядов,
• ( r ) — расстояние между зарядами.

Поскольку заряды расположены в вершинах равностороннего треугольника, каждая пара зарядов отталкивается друг от друга с одинаковой силой на одинаковом расстоянии. Если мы поместим отрицательный заряд в центр треугольника, он будет притягивать каждый из положительных зарядов.

Для равновесия необходимо, чтобы сумма всех сил на каждый из зарядов была нулевой. Рассмотрим силы, действующие на один из положительных зарядов. На него действуют:

1. Силы отталкивания со стороны двух других положительных зарядов.
2. Сила притяжения со стороны отрицательного заряда в центре.

Предположим, что сторона треугольника равна ( a ). Расстояние от центра треугольника до любой его вершины (радиус описанной окружности) определяется формулой для радиуса описанной окружности равностороннего треугольника:

[ R = \frac{a}{\sqrt{3}}. ]

Теперь запишем условия равновесия для одного из зарядов. Пусть заряд в центре равен ( Q ). Тогда сила притяжения между зарядом в центре и одним из положительных зарядов равна:

[ F_{\text{центр}} = k \frac{|qQ|}{R^2} = k \frac{1,73 \times 10^{-6} |Q|}{\left(\frac{a}{\sqrt{3}}\right)^2}. ]

Каждая из сил отталкивания между положительными зарядами равна:

[ F_{\text{отталкивание}} = k \frac{(1,73 \times 10^{-6})^2}{a^2}. ]

Для равновесия сумма проекций всех сил на направление к центру должна быть равна нулю. Расположим силы векториально и учтем симметрию системы. В центре треугольника сумма сил отталкивания будет компенсирована силой притяжения, поэтому:

[ 3F{\text{отталкивание}} \cos(30^\circ) = F{\text{центр}}. ]

Подставим выражения для сил и решим уравнение относительно ( Q ):

[ 3 \cdot k \frac{(1,73 \times 10^{-6})^2}{a^2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = k \frac{1,73 \times 10^{-6} |Q|}{\left(\frac{a}{\sqrt{3}}\right)^2}. ]

Сократим ( k ) и ( a^2 ), и упростим уравнение:

[ 3 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot (1,73 \times 10^{-6}) = |Q| \cdot \frac{3}{(1,73 \times 10^{-6})}. ]

Упростив, получим:

[ Q = -1,73 \times 10^{-6} \, \text{Кл}. ]

Знак минус указывает на то, что заряд в центре должен быть отрицательным, чтобы обеспечивать притяжение, компенсирующее отталкивание положительных зарядов, и тем самым создать равновесие в системе.