Уравнение движения точки по прямой имеет вид: х = t^3 - 3t + 1 (м). Найти: 1) путь и перемещение точки за промежуток времени от 0 до 3 с; 2) среднюю скорость и среднее ускорение точки за этот промежуток времени; 3) скорость и ускорение точки в момент времени t=1 с.
Желательно подробное решение. Спасибо.
1) Для нахождения пути и перемещения точки за промежуток времени от 0 до 3 с подставим время t=3 в уравнение движения: x(3) = (3)^3 - 3*3 + 1 = 27 - 9 + 1 = 19 м (путь) Для нахождения перемещения вычтем путь в момент времени t=0 из пути в момент времени t=3: 19 - 1 = 18 м (перемещение)
2) Для нахождения средней скорости за промежуток времени от 0 до 3 с воспользуемся формулой: v(ср) = (x(3) - x(0)) / (t(3) - t(0)): v(ср) = (19 - 1) / (3 - 0) = 6 м/с (средняя скорость) Для нахождения среднего ускорения за этот промежуток времени воспользуемся формулой: a(ср) = (v(3) - v(0)) / (t(3) - t(0)): a(ср) = (9(3) - 9(0)) / (3 - 0) = 9 м/с^2 (среднее ускорение)
3) Для нахождения скорости и ускорения точки в момент времени t=1 с подставим t=1 в уравнение движения и найдем производные: x'(t) = 3t^2 - 3 (м/с) (скорость) x''(t) = 6t (м/с^2) (ускорение) Подставим t=1: x'(1) = 31^2 - 3 = 0 м/с (скорость в момент времени t=1 с) x''(1) = 61 = 6 м/с^2 (ускорение в момент времени t=1 с)
Давайте подробно разберем каждую из поставленных задач.
Перемещение — это разница между конечной и начальной координатами точки.
Найдем координаты точки в начальный и конечный моменты времени.
При ( t = 0 ): [ x(0) = 0^3 - 3 \cdot 0 + 1 = 1 \, \text{м} ]
При ( t = 3 ): [ x(3) = 3^3 - 3 \cdot 3 + 1 = 27 - 9 + 1 = 19 \, \text{м} ]
Перемещение: [ \Delta x = x(3) - x(0) = 19 - 1 = 18 \, \text{м} ]
Путь — это длина траектории, которую прошла точка. Для этого нужно посмотреть изменение координаты на промежутке от 0 до 3 секунд.
Мы должны определить, меняет ли точка направление движения на данном интервале. Для этого найдем производную функции ( x(t) ), которая является скоростью ( v(t) ).
[ v(t) = \frac{dx}{dt} = 3t^2 - 3 ]
Теперь найдем, где скорость равна нулю, чтобы определить критические точки:
[ 3t^2 - 3 = 0 ] [ t^2 = 1 ] [ t = \pm 1 ]
На интервале от 0 до 3 секунд ( t = 1 ) является критической точкой.
Теперь посмотрим значения координат в этих критических точках:
При ( t = 1 ): [ x(1) = 1^3 - 3 \cdot 1 + 1 = -1 \, \text{м} ]
Таким образом, путь можно найти как сумму модулей перемещений на интервалах [0, 1] и [1, 3]:
От 0 до 1: [ x(1) - x(0) = -1 - 1 = -2 \, \text{м} ] Модуль перемещения: ( | -2 | = 2 \, \text{м} )
От 1 до 3: [ x(3) - x(1) = 19 - (-1) = 20 \, \text{м} ] Модуль перемещения: ( 20 \, \text{м} )
Путь: [ S = 2 + 20 = 22 \, \text{м} ]
Средняя скорость ( \overline{v} ) определяется как отношение перемещения к промежутку времени:
[ \overline{v} = \frac{\Delta x}{\Delta t} = \frac{18 \, \text{м}}{3 \, \text{с}} = 6 \, \text{м/с} ]
Среднее ускорение ( \overline{a} ) определяется как отношение изменения скорости к промежутку времени:
Найдем скорость в начальный и конечный моменты времени.
При ( t = 0 ): [ v(0) = 3 \cdot 0^2 - 3 = -3 \, \text{м/с} ]
При ( t = 3 ): [ v(3) = 3 \cdot 3^2 - 3 = 27 - 3 = 24 \, \text{м/с} ]
Изменение скорости: [ \Delta v = v(3) - v(0) = 24 - (-3) = 27 \, \text{м/с} ]
Среднее ускорение: [ \overline{a} = \frac{\Delta v}{\Delta t} = \frac{27 \, \text{м/с}}{3 \, \text{с}} = 9 \, \text{м/с}^2 ]
Скорость в момент времени ( t = 1 ) с:
[ v(1) = 3 \cdot 1^2 - 3 = 3 - 3 = 0 \, \text{м/с} ]
Ускорение — это производная скорости ( v(t) ), или вторая производная координаты ( x(t) ):
[ a(t) = \frac{dv}{dt} = \frac{d}{dt}(3t^2 - 3) = 6t ]
При ( t = 1 ): [ a(1) = 6 \cdot 1 = 6 \, \text{м/с}^2 ]
Надеюсь, это поможет вам разобраться с задачей.
1) Для нахождения пути и перемещения точки за промежуток времени от 0 до 3 с, нужно вычислить значение x при t=3 с и t=0 с:
При t=0 с: x = 0^3 - 30 + 1 = 1 м При t=3 с: x = 3^3 - 33 + 1 = 27 - 9 + 1 = 19 м
Путь = |x(3) - x(0)| = |19 - 1| = 18 м Перемещение = x(3) - x(0) = 19 - 1 = 18 м
2) Средняя скорость вычисляется по формуле: Vср = Δx/Δt, где Δx - перемещение, Δt - промежуток времени.
Vср = 18 м / 3 с = 6 м/с
Среднее ускорение вычисляется по формуле: aср = ΔV/Δt, где ΔV - изменение скорости.
aср = (V(3) - V(0)) / 3 с = ((d(x)/dt)|t=3 - (d(x)/dt)|t=0) / 3 = ((3t^2 - 3)|t=3 - (3t^2 - 3)|t=0) / 3 = (27 - 3 - 0 + 3) / 3 = 9 м/с^2
3) Скорость точки в момент времени t=1 с вычисляется как производная x по времени в точке t=1:
V(1) = (d(x)/dt)|t=1 = (3t^2 - 3)|t=1 = 3*1^2 - 3 = 0 м/с
Ускорение точки в момент времени t=1 с вычисляется как производная скорости по времени в точке t=1:
a(1) = (d(V)/dt)|t=1 = (d(3t^2 - 3)/dt)|t=1 = 6t|t=1 = 6 м/с^2
Таким образом, скорость точки в момент времени t=1 с равна 0 м/с, а ускорение равно 6 м/с^2.
