Вокруг планеты по круговым орбитам движутся два искусственных спутника. Радиус орбиты первого спутника в два раза меньше радиуса орбиты второго. Как и во сколько раз отличаются периоды обращения спутников?
Вокруг планеты по круговым орбитам движутся два искусственных спутника. Радиус орбиты первого спутника в два раза меньше радиуса орбиты второго. Как и во сколько раз отличаются периоды обращения спутников?
Период обращения спутника зависит от радиуса его орбиты по закону Кеплера: T^2/R^3 = константа.
Пусть T1 и R1 - период и радиус орбиты первого спутника, а T2 и R2 - период и радиус орбиты второго спутника. Тогда, согласно условию, R1 = R2/2.
Подставим это в закон Кеплера для обоих спутников:
T1^2 / (R1)^3 = T2^2 / (R2)^3 T1^2 / (R2/2)^3 = T2^2 / (R2)^3 T1^2 / (R2^3 / 8) = T2^2 / (R2)^3 T1^2 8 / R2^3 = T2^2 8 T1^2 / R2^3 = T2^2 T2 = sqrt(8) * T1
Таким образом, период обращения второго спутника отличается от периода обращения первого спутника в sqrt(8) = 2.83 раза.
Для решения задачи о периодах обращения спутников вокруг планеты по круговым орбитам можно использовать третий закон Кеплера. Этот закон утверждает, что квадрат периода обращения спутника ( T ) пропорционален кубу среднего радиуса его орбиты ( R ). Математически это можно записать как:
[ T^2 \propto R^3 ]
Или в виде равенства:
[ \frac{T_1^2}{T_2^2} = \frac{R_1^3}{R_2^3} ]
Где ( T_1 ) и ( T_2 ) — периоды обращения первого и второго спутников соответственно, а ( R_1 ) и ( R_2 ) — радиусы их орбит.
По условию задачи, радиус орбиты первого спутника ( R_1 ) в два раза меньше радиуса орбиты второго спутника ( R_2 ). То есть:
[ R_1 = \frac{R_2}{2} ]
Подставим это соотношение в уравнение третьего закона Кеплера:
[ \frac{T_1^2}{T_2^2} = \left(\frac{R_1}{R_2}\right)^3 = \left(\frac{1}{2}\right)^3 = \frac{1}{8} ]
Теперь извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения, чтобы найти соотношение периодов:
[ \frac{T_1}{T_2} = \sqrt{\frac{1}{8}} = \frac{1}{\sqrt{8}} = \frac{1}{2\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{4} ]
Это означает, что период обращения первого спутника ( T_1 ) меньше периода обращения второго спутника ( T_2 ) в (\frac{\sqrt{2}}{4}) раза. Однако, чтобы выразить это в более привычной форме, можно преобразовать соотношение, чтобы показать, во сколько раз ( T_2 ) больше ( T_1 ):
[ T_2 = T_1 \cdot \frac{4}{\sqrt{2}} = T_1 \cdot 2\sqrt{2} ]
Следовательно, период обращения второго спутника в ( 2\sqrt{2} \approx 2.83 ) раза больше периода обращения первого спутника.
