Вычислить диаметры каналов трех капиллярных трубок, если известно, что вода при 293k поднимается в них...

Для расчета диаметров капиллярных трубок можно использовать закон капиллярности, который описывается формулой:

[ h = \frac{2 \gamma \cos(\theta)}{\rho g r} ]

где:

• ( h ) — высота подъема жидкости,
• ( \gamma ) — поверхностное натяжение жидкости (для воды при 293 K примерно 0.072 N/m),
• ( \theta ) — угол смачивания,
• ( \rho ) — плотность жидкости (для воды примерно 1000 кг/м³),
• ( g ) — ускорение свободного падения (примерно 9.81 м/с²),
• ( r ) — радиус капиллярной трубки.

Из формулы видно, что радиус обратно пропорционален высоте подъема. Для упрощения расчетов можно привести формулу к виду:

[ r \propto \frac{1}{h} ]

Таким образом, если известны высоты подъема, можно определить относительные радиусы, а затем вычислить диаметр (диаметр равен ( 2r )).

Обозначим высоты подъема:

• ( h_1 = 2.5 ) см = 0.025 м,
• ( h_2 = 5 ) см = 0.05 м,
• ( h_3 = 8 ) см = 0.08 м.

Теперь вычислим относительные радиусы (поскольку они обратно пропорциональны высотам):

[ r_1 \propto \frac{1}{0.025}, \quad r_2 \propto \frac{1}{0.05}, \quad r_3 \propto \frac{1}{0.08} ]

Теперь найдем радиусы пропорционально:

[ r_1 = \frac{1}{0.025}, \quad r_2 = \frac{1}{0.05}, \quad r_3 = \frac{1}{0.08} ]

Нормируем радиусы относительно ( r_1 ):

[ r_1 = 1, \quad r_2 = \frac{0.025}{0.05} = 0.5, \quad r_3 = \frac{0.025}{0.08} \approx 0.3125 ]

Теперь, чтобы получить диаметр, умножаем радиусы на 2:

[ d_1 = 2r_1 = 2 \cdot 1 = 2 \, \text{(нормированный)}, \quad d_2 = 2r_2 = 2 \cdot 0.5 = 1, \quad d_3 = 2r_3 = 2 \cdot 0.3125 \approx 0.625 ]

Итак, для получения конкретных значений диаметров можно выбрать базовый масштаб (например, 1 см для ( d_1 )). Это дает:

• ( d_1 ) = 2 см,
• ( d_2 ) = 1 см,
• ( d_3 ) ≈ 0.625 см.

Таким образом, диаметр трубок будет пропорционален высоте их капиллярного подъема.

Для решения этой задачи воспользуемся уравнением капиллярного подъема жидкости:

[ h = \frac{2\sigma \cos{\theta}}{\rho g r}, ]

где:

• ( h ) — высота поднятия жидкости в капилляре;
• ( \sigma ) — коэффициент поверхностного натяжения жидкости (для воды при (293 \, \text{K}) (\sigma = 0{,}0728 \, \text{N/m}));
• ( \theta ) — угол смачивания (для воды и стеклянной трубки обычно принимается (\theta = 0^\circ), поэтому (\cos{\theta} = 1));
• ( \rho ) — плотность жидкости (для воды при (293 \, \text{K}) (\rho = 1000 \, \text{kg/m}^3));
• ( g ) — ускорение свободного падения (( g = 9{,}8 \, \text{m/s}^2 ));
• ( r ) — радиус капилляра (в метрах).

Искомая величина — диаметр капилляров ( d = 2r ). Выразим радиус из формулы:

[ r = \frac{2\sigma \cos{\theta}}{\rho g h}. ]

Подставим значения и выразим диаметр:

[ d = 2r = \frac{4\sigma \cos{\theta}}{\rho g h}. ]

Данные:

• ( \sigma = 0{,}0728 \, \text{N/m} ),
• ( \cos{\theta} = 1 ),
• ( \rho = 1000 \, \text{kg/m}^3 ),
• ( g = 9{,}8 \, \text{m/s}^2 ),
• ( h ) в метрах для каждой из трех трубок (( h_1 = 0{,}025 \, \text{m}, \, h_2 = 0{,}05 \, \text{m}, \, h_3 = 0{,}08 \, \text{m} )).

Вычисления:

1. Для первой трубки (( h_1 = 0{,}025 \, \text{m} )): [ d_1 = \frac{4 \cdot 0{,}0728}{1000 \cdot 9{,}8 \cdot 0{,}025}. ] [ d_1 = \frac{0{,}2912}{0{,}245} \approx 0{,}1188 \, \text{m} = 1{,}2 \, \text{мм}. ]

2. Для второй трубки (( h_2 = 0{,}05 \, \text{m} )): [ d_2 = \frac{4 \cdot 0{,}0728}{1000 \cdot 9{,}8 \cdot 0{,}05}. ] [ d_2 = \frac{0{,}2912}{0{,}49} \approx 0{,}0594 \, \text{m} = 0{,}6 \, \text{мм}. ]

3. Для третьей трубки (( h_3 = 0{,}08 \, \text{m} )): [ d_3 = \frac{4 \cdot 0{,}0728}{1000 \cdot 9{,}8 \cdot 0{,}08}. ] [ d_3 = \frac{0{,}2912}{0{,}784} \approx 0{,}0371 \, \text{m} = 0{,}37 \, \text{мм}. ]

Ответ:

Диаметры капиллярных трубок:

1. ( d_1 \approx 1{,}2 \, \text{мм} ),
2. ( d_2 \approx 0{,}6 \, \text{мм} ),
3. ( d_3 \approx 0{,}37 \, \text{мм} ).

Для решения задачи о вычислении диаметров капиллярных трубок, в которых происходит подъем воды, мы можем использовать уравнение капиллярности, которое описывает, как жидкость поднимается или опускается в узких трубках. Уравнение капиллярности для высоты подъема жидкости ( h ) в капилляре записывается следующим образом:

[ h = \frac{2 \gamma \cos(\theta)}{\rho g r} ]

где:

• ( h ) — высота подъема жидкости (в метрах),
• ( \gamma ) — поверхностное натяжение жидкости (для воды при 293 K примерно ( 0.072 \, \text{Н/м} )),
• ( \theta ) — угол смачивания (для чистой воды в стеклянных трубках ( \theta ) близок к 0°),
• ( \rho ) — плотность жидкости (для воды примерно ( 1000 \, \text{кг/м}^3 )),
• ( g ) — ускорение свободного падения (примерно ( 9.81 \, \text{м/с}^2 )),
• ( r ) — радиус капилляра (в метрах).

Сначала преобразуем уравнение, чтобы выразить радиус ( r ):

[ r = \frac{2 \gamma \cos(\theta)}{\rho g h} ]

Так как угол смачивания ( \theta ) для воды в капиллярах обычно очень мал и приближается к 0, мы можем принять ( \cos(\theta) \approx 1 ).

Теперь подставим известные значения:

1. Для ( h = 2.5 \, \text{см} = 0.025 \, \text{м} ): [ r_1 = \frac{2 \cdot 0.072 \cdot 1}{1000 \cdot 9.81 \cdot 0.025} \approx 0.00058 \, \text{м} \approx 0.58 \, \text{мм} ]

2. Для ( h = 5 \, \text{см} = 0.05 \, \text{м} ): [ r_2 = \frac{2 \cdot 0.072 \cdot 1}{1000 \cdot 9.81 \cdot 0.05} \approx 0.00029 \, \text{м} \approx 0.29 \, \text{мм} ]

3. Для ( h = 8 \, \text{см} = 0.08 \, \text{м} ): [ r_3 = \frac{2 \cdot 0.072 \cdot 1}{1000 \cdot 9.81 \cdot 0.08} \approx 0.00018 \, \text{м} \approx 0.18 \, \text{мм} ]

Теперь, чтобы найти диаметр ( d ) трубок, мы используем соотношение:

[ d = 2r ]

Таким образом, для каждой трубки:

1. Для первой трубки (высота 2.5 см): [ d_1 = 2 \cdot 0.58 \, \text{мм} \approx 1.16 \, \text{мм} ]

2. Для второй трубки (высота 5 см): [ d_2 = 2 \cdot 0.29 \, \text{мм} \approx 0.58 \, \text{мм} ]

3. Для третьей трубки (высота 8 см): [ d_3 = 2 \cdot 0.18 \, \text{мм} \approx 0.36 \, \text{мм} ]

Таким образом, диаметр капиллярных трубок для высот подъема воды 2.5 см, 5 см и 8 см составляет примерно 1.16 мм, 0.58 мм и 0.36 мм соответственно.